Центральная предельная теорема

Описание	Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному. Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.
Область знаний	Математика
Авторы
Поясняющее видео
Близкие понятия	Дисперсия, Математическое ожидание
Среды и средства для освоения понятия	NetLogo, StarLogo Nova, R

Классическая ЦПТ

Пусть [math]\displaystyle{ X_1,\ldots, X_n }[/math] есть последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечные математическое ожидание [math]\displaystyle{ \mu }[/math] и дисперсию [math]\displaystyle{ \sigma^2 }[/math]. Пусть также

[math]\displaystyle{ S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i }[/math].

Тогда

[math]\displaystyle{ \frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt n} \to N(0,1) }[/math] по распределению при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math],

где [math]\displaystyle{ N(0,1) }[/math] — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Определяя выборочное среднее первых [math]\displaystyle{ n }[/math] величин как

[math]\displaystyle{ \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i }[/math],

можно переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

[math]\displaystyle{ \sqrt{n} \frac{ \bar{X}_n - \mu}{\sigma} \to N(0,1) }[/math] по распределению при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math].

Классическая формулировка: Пусть [math]\displaystyle{ X_1, X_2, ..., X_n }[/math] — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечными [math]\displaystyle{ M(X_i) = \mu }[/math] и [math]\displaystyle{ D(X_i) = \sigma^2 }[/math]. Тогда:

[math]\displaystyle{ \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1) }[/math]

при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math], где [math]\displaystyle{ \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i }[/math] — выборочное среднее.

Интерактивное представление центральной предельной теоремы

• https://gallery.shinyapps.io/CLT_mean/

Модель Central Limit Theorem

	Description
Central Limit Theorem	Модель "Central Limit Theorem" представляет население, распределённое по некоторой переменной (например, общие активы в тысячах долларов). Население распределено произвольно — не обязательно нормально — но выборочные средние из этой популяции тем не менее накапливаются в распределении, которое приближается к нормальной кривой.