Дисперсия
| Описание | Дисперсия (англ. variance) — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Дисперсия характеризует степень изменчивости экономических показателей вокруг их среднего значения. |
|---|---|
| Область знаний | Математика, Экономика, Статистика |
| Авторы | |
| Поясняющее видео | |
| Близкие понятия | |
| Среды и средства для освоения понятия |
Определение и формулы
Основная формула дисперсии:
[math]\displaystyle{ D(X) = M[(X - M(X))^2] }[/math]
Альтернативная формула для вычислений:
[math]\displaystyle{ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 }[/math]
Для дискретной случайной величины:
[math]\displaystyle{ D(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i - \left(\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i\right)^2 }[/math]
Для непрерывной случайной величины:[5]
[math]\displaystyle{ D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \cdot f(x) \, dx - \left(\int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx\right)^2 }[/math]
Свойства дисперсии
Дисперсия обладает следующими свойствами:
- Неотрицательность: [math]\displaystyle{ D(X) \geq 0 }[/math]
- Дисперсия константы: [math]\displaystyle{ D(C) = 0 }[/math]
- Влияние константы: [math]\displaystyle{ D(aX + b) = a^2 \cdot D(X) }[/math]
- Аддитивность для независимых величин: [math]\displaystyle{ D(X + Y) = D(X) + D(Y) }[/math]
Выборочная дисперсия
- Смещённая оценка дисперсии
[math]\displaystyle{ S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 }[/math]
- Несмещённая оценка дисперсии
[math]\displaystyle{ \tilde{S}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 }[/math]
где [math]\displaystyle{ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i }[/math] — выборочное среднее.
Экономическая интерпретация
В экономике дисперсия измеряет риск или волатильность экономических показателей. Большая дисперсия указывает на высокую изменчивость показателя, малая — на стабильность.
