Математическое ожидание
| Описание | Математическое ожидание (англ. expectation value, expected value) — мера среднего значения случайной величины, равная сумме произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности. |
|---|---|
| Область знаний | Математика, Статистика |
| Авторы | |
| Поясняющее видео | |
| Близкие понятия | Выборка |
| Среды и средства для освоения понятия | CODAP, R |
Определение и формулы
Математическое ожидание (англ. expectation value, expected value) — мера среднего значения случайной величины, равная сумме произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности.
Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле:
[math]\displaystyle{ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i }[/math]
где:
- [math]\displaystyle{ x_i }[/math] — возможные значения случайной величины
- [math]\displaystyle{ p_i }[/math] — соответствующие вероятности
- [math]\displaystyle{ n }[/math] — количество возможных значений
Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]:
[math]\displaystyle{ M(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx }[/math]
Свойства математического ожидания
Математическое ожидание обладает следующими важными свойствами:
- Ожидание константы: [math]\displaystyle{ M(C) = C }[/math], где [math]\displaystyle{ C }[/math] — константа
- Линейность: [math]\displaystyle{ M(aX + bY) = a \cdot M(X) + b \cdot M(Y) }[/math]
- Аддитивность: [math]\displaystyle{ M(X + Y) = M(X) + M(Y) }[/math]
- Мультипликативность для независимых величин: [math]\displaystyle{ M(XY) = M(X) \cdot M(Y) }[/math]
- Сохранение неравенств: если [math]\displaystyle{ X \leq Y }[/math], то [math]\displaystyle{ M(X) \leq M(Y) }[/math]
Экономическая интерпретация
Математическое ожидание характеризует "центр тяжести" распределения случайной величины. В экономике оно интерпретируется как ожидаемое значение показателя при большом количестве наблюдений.
Примеры в социально-экономической статистике:
- Ожидаемый доход: [math]\displaystyle{ M(Y) = \sum_{i=1}^{n} y_i \cdot P(Y = y_i) }[/math]
- Средняя производительность труда: [math]\displaystyle{ M(P) = \int_{0}^{\infty} p \cdot f(p) \, dp }[/math]
