Центральная предельная теорема
| Описание | Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному. Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения. |
|---|---|
| Область знаний | Математика |
| Авторы | |
| Поясняющее видео | |
| Близкие понятия | Дисперсия, Математическое ожидание |
| Среды и средства для освоения понятия | NetLogo, StarLogo Nova, R |
Классическая ЦПТ
Пусть [math]\displaystyle{ X_1,\ldots, X_n }[/math] есть последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечные математическое ожидание [math]\displaystyle{ \mu }[/math] и дисперсию [math]\displaystyle{ \sigma^2 }[/math]. Пусть также
- [math]\displaystyle{ S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i }[/math].
Тогда
- [math]\displaystyle{ \frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt n} \to N(0,1) }[/math] по распределению при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math],
где [math]\displaystyle{ N(0,1) }[/math] — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Определяя выборочное среднее первых [math]\displaystyle{ n }[/math] величин как
- [math]\displaystyle{ \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i }[/math],
можно переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:
- [math]\displaystyle{ \sqrt{n} \frac{ \bar{X}_n - \mu}{\sigma} \to N(0,1) }[/math] по распределению при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math].
Классическая формулировка:
Пусть [math]\displaystyle{ X_1, X_2, ..., X_n }[/math] — независимые одинаково распределённые случайные величины с конечными [math]\displaystyle{ M(X_i) = \mu }[/math] и [math]\displaystyle{ D(X_i) = \sigma^2 }[/math]. Тогда:
[math]\displaystyle{ \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1) }[/math]
при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math], где [math]\displaystyle{ \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i }[/math] — выборочное среднее.
Интерактивное представление центральной предельной теоремы
