Wealth Distribution

Описание модели	Модель распределения богатства в экономике. Данная модель представляет собой агентную вычислительную модель (Agent-based Model) распределения богатства, основанную на классической работе Эпштейна и Акстелла "Sugarscape". Модель демонстрирует механизм неравенства в распределении богатства, где "богатые становятся богаче, а бедные беднее", что соответствует закону Парето.
Область знаний	Социология, Экономика, Обществознание, Статистика
Веб-страница - ссылка на модель
Видео запись
Разработчики
Среды и средства, в которых реализована модель	NetLogo
Диаграмма модели
Описание полей данных, которые модель порождает
Модель создана студентами?	Нет

Описание

Симуляция распределения богатства, демонстрирующая закон Парето и неравенство доходов.

• См. Система эконометрических уравнений
• Sugarscape model -классический вариант модели

Ключевые элементы

• Агенты с различным метаболизмом
• Ограниченные ресурсы (зерно)
• Наследование и жизненные циклы

Эконометрическое применение

Расчет коэффициента Джини для измерения неравенства:

[math]\displaystyle{ \text{Gini} = 1 - \sum_{k=0}^{n-1}(X_{k+1} - X_k)(Y_{k+1} + Y_k) }[/math] где X — кумулятивная доля населения, Y — кумулятивная доля богатства.

Основные агенты и их свойства

В модели присутствуют два типа агентов:

Участки земли (patches) - содержат зерно с определенной емкостью роста

• Каждый участок имеет максимальную емкость зерна [math]\displaystyle{ C_i }[/math]
• На каждом такте участок восстанавливает одну единицу зерна до максимума
• Цвет участка отражает количество зерна: чем темнее желтый, тем больше зерна

Люди (agents) - экономические агенты со следующими характеристиками

• Метаболизм [math]\displaystyle{ m_i }[/math] - количество зерна, потребляемое за один такт (тик)
• Видимость [math]\displaystyle{ v_i }[/math] - радиус видимости для поиска зерна
• Продолжительность жизни [math]\displaystyle{ L_i }[/math] - случайная величина от 60 до 100 тактов
• Богатство [math]\displaystyle{ W_i }[/math] - накопленное количество зерна

Динамика модели

Движение агентов

На каждом такте агент [math]\displaystyle{ i }[/math] перемещается в незанятую клетку в пределах своего зрения, где количество зерна [math]\displaystyle{ G_j }[/math] максимально:

[math]\displaystyle{ G_j = \max_{k \in V_i} G_k }[/math]

где [math]\displaystyle{ V_i }[/math] - множество видимых клеток для агента [math]\displaystyle{ i }[/math].

Потребление и накопление

После перемещения агент собирает все зерно и потребляет согласно метаболизму: [math]\displaystyle{ W_i(t+1) = W_i(t) + G_j - m_i }[/math]

Смерть и рождение

Агент умирает, если [math]\displaystyle{ W_i = 0 }[/math] или возраст превышает [math]\displaystyle{ L_i }[/math]. При смерти создается новый агент с:

• Случайным метаболизмом из диапазона [math]\displaystyle{ [m_{min}, m_{max}] }[/math]
• Случайным богатством [math]\displaystyle{ W_{new} \sim U(W_{min}, W_{max}) }[/math], где [math]\displaystyle{ W_{min} }[/math] и [math]\displaystyle{ W_{max} }[/math] - богатство самого бедного и богатого агента
• Отсутствием наследования богатства

Коэффициент Джини + Кривая Лоренца

	Description
Коэффициент Джини	Коэффициент Джини — статистический показатель степени расслоения общества данной страны или региона по какому-либо изучаемому признаку. Используется для оценки экономического неравенства. Коэффициент Джини может варьироваться между 0 и 1. Чем больше его значение отклоняется от нуля и приближается к единице, тем в большей степени доходы сконцентрированы в руках отдельных групп населения.

Description

Кривая Лоренца

Кривая Лоренца (англ. Lorenz curve) — графическое изображение функции распределения, предложенная американским экономистом Максом Отто Лоренцем в 1905 году как показатель неравенства в доходах населения. Кривая Лоренца представляет функцию распределения, в которой аккумулируются доли численности и доходов населения. В прямоугольной системе координат кривая Лоренца является выпуклой вниз и проходит под диагональю единичного квадрата, расположенного в I координатной четверти.

Коэффициент Джини [math]\displaystyle{ G }[/math] - численная мера неравенства, рассчитываемая как отношение площадей:

[math]\displaystyle{ G = \frac{A}{A + B} }[/math]

где:

• [math]\displaystyle{ A }[/math] - площадь между линией равенства и кривой Лоренца
• [math]\displaystyle{ B }[/math] - площадь под кривой Лоренца

Поскольку [math]\displaystyle{ A + B = 0.5 }[/math], формула упрощается до:

[math]\displaystyle{ G = 2A = 1 - 2B }[/math]

Для дискретного распределения богатства:

[math]\displaystyle{ G = \frac{2\sum_{i=1}^{n} i \cdot W_i}{n \sum_{i=1}^{n} W_i} - \frac{n+1}{n} }[/math]

где [math]\displaystyle{ W_i }[/math] - богатство [math]\displaystyle{ i }[/math]-го агента в порядке возрастания

Интерпретация коэффициента Джини:

• [math]\displaystyle{ G = 0 }[/math] - абсолютное равенство
• [math]\displaystyle{ G = 1 }[/math] - абсолютное неравенство (один агент владеет всем богатством)

Wealth_Distribution

Пояснения к коду

Глобальные переменные

globals [
  max-grain              ; максимальное количество зерна на одной клетке
  gini-index-reserve     ; переменная для накопления коэффициента Джини
  lorenz-points          ; список точек для построения кривой Лоренца
]

Патчи

patches-own [
  grain-here           ; текущее количество зерна на этой клетке
  max-grain-here       ; максимальное количество, которое может вместить клетка — потенциальный максимум, зависит от типа земли (хорошая и плохая земля)
]

Черепахи

turtles-own [
  age                ; возраст агента (в тиках)
  wealth             ; запас зерна, который агент накопил
  life-expectancy    ; максимальный возраст (когда умрёт)
  metabolism         ; сколько зерна потребляет за один тик
  vision             ; сколько клеток вперёд может видеть (радиус поиска)
]

Setup

  setup-patches       ; инициализация земли
  setup-turtles       ; инициализация агентов
  update-lorenz-and-gini  ; расчёт начальных значений неравенства

Зерно распространяется (диффузионный процесс). Это моделирует «географическую близость» богатства: [math]\displaystyle{ \displaystyle{\text{grain}_{new} = 0.75 \times \text{grain}_{old} + 0.25 \times \text{avg(grain neighbors)}} }[/math]

  repeat 5  [ ask patches with [max-grain-here != 0]
               [ set grain-here max-grain-here ]
             diffuse grain-here 0.25 ]
  repeat 10 [ diffuse grain-here 0.25 ]

Образуются кластеры богатых и бедных участков земли, как в реальной географии.

Эконометрическая интерпретация:

• Создание экзогенного пространственного неравенства в ресурсах.
• Это играет роль инструментальной переменной при анализе факторов неравенства.

Черепахи

to set-initial-turtle-vars
  set life-expectancy life-expectancy-min + 
                       random (life-expectancy-max - life-expectancy-min + 1)
  set metabolism 1 + random metabolism-max
  set wealth metabolism + random 50
  set vision 1 + random max-vision
  set age random life-expectancy
end

1. Экзогенные переменные (metabolism, vision, life-expectancy) назначаются один раз при создании или перерождении.
2. Эндогенные переменные (wealth, age) меняются каждый тик согласно динамическому процессу.

Go

to go
  ask turtles [ turn-towards-grain ]    ; шаг 1: выбор направления
  harvest                               ; шаг 2: сбор урожая
  ask turtles [ move-eat-age-die ]      ; шаг 3: движение, еда, старение, смерть
  recolor-turtles                       ; визуализация
  
  if ticks mod grain-growth-interval = 0
    [ ask patches [ grow-grain ] ]      ; шаг 4: восстановление зерна
  
  update-lorenz-and-gini                ; шаг 5: обновление статистики
  tick
end

Возможности модели

Модель Wealth Distribution (распределение богатства) показывает, что даже в полностью справедливом обществе, где все агенты начинают с одинаковыми возможностями, неравенство возникает естественным образом.

Эта модель идеально подходит для понимания систем эконометрических уравнений, потому что здесь мы видим:

• Микро-уровень: Каждый агент следует простым правилам
• Макро-уровень: Взаимодействие миллионов решений создаёт закон Парето
• Математическое описание: Система уравнений, которая объясняет, почему возникает именно такое распределение

Система эконометрических уравнений

Уровень 1: Один агент, одно простое уравнение

Представьте одного человека на острове. Каждый день он:

1. Ищет зерно
2. Его съедает
3. Любое оставшееся зерно хранит

[math]\displaystyle{ \displaystyle{W_i(t+1) = W_i(t) + G_j - m_i} }[/math]

где: - [math]\displaystyle{ \displaystyle{W_i(t)} }[/math] — богатство агента в момент времени $t$ - [math]\displaystyle{ \displaystyle{G_j} }[/math] — количество зерна, найденного в этом периоде - [math]\displaystyle{ \displaystyle{m_i} }[/math] — метаболизм (сколько зерна он потребляет в день)

Богатство завтра = Богатство сегодня + Доход - Расходы

Уровень 1: Два агента, две переменные — появляется взаимозависимость

Теперь представьте двух людей на острове с ограниченным зерном.

Агент 1

[math]\displaystyle{ \displaystyle{W_1(t+1) = W_1(t) + G_1(t) - m_1} }[/math]

Агент 2

[math]\displaystyle{ \displaystyle{W_2(t+1) = W_2(t) + G_2(t) - m_2} }[/math]

Ограничение: Всего зерна на острове конечно. Если агент 1 хорошо видит и быстро бегает, он соберёт больше зерна — и агент 2 останется ни с чем.

[math]\displaystyle{ \displaystyle{G_1(t) + G_2(t) = G_{total}(t)} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \displaystyle{G_{total}(t)} }[/math] — общее количество доступного зерна.

Микро-уровень (поведение каждого агента):

Агент движется в направлении максимального зерна в пределах его видимости:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{G_i(t) = \max_{j \in V_i} G_j(t)} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \displaystyle{V_i} }[/math] — множество клеток, которые агент может видеть.

Это система одновременных уравнений:

• Местоположение агента 1 влияет на то, сколько зерна он найдёт → влияет на его богатство
• Местоположение агента 2 влияет на то, сколько зерна остаётся для агента 1
• Богатство влияет на выживание → влияет на следующее поколение агентов
• Новые агенты имеют случайное начальное богатство → влияет на конкуренцию

Полная система эконометрических уравнений для Wealth Distribution

Уровень 1. Уравнение богатства (накопление и потребление)

[math]\displaystyle{ \displaystyle{W_i(t+1) = W_i(t) + Y_i(t) - C_i(t)} }[/math]

где

• [math]\displaystyle{ \displaystyle{W_i(t)} }[/math] — богатство агента в периоде $t$
• [math]\displaystyle{ \displaystyle{Y_i(t)} }[/math] — доход (собранное зерно)
• [math]\displaystyle{ \displaystyle{C_i(t)} }[/math] — потребление (метаболизм)

Уровень 2: Уравнение дохода (зависит от видимости и везения)

Агент может собрать зерно только из видимых ему клеток. Но на самом деле:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{Y_i(t) = f(v_i, \text{удача}_t) + u_{1,i}(t)} }[/math]

где:

• [math]\displaystyle{ \displaystyle{v_i} }[/math] — видимость (радиус поиска)
• [math]\displaystyle{ \displaystyle{\text{удача}_t} }[/math] — случайная величина (встретил ли плотные участки зерна)
• [math]\displaystyle{ \displaystyle{u_{1,i}(t)} }[/math] — случайная ошибка

В упрощённом виде:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{Y_i(t) = a + b \cdot v_i + \varepsilon_{1,i}(t)} }[/math]

То есть

Чем больше видимость, тем больше среднего доход.

Уровень 3: Уравнение потребления (метаболизм — врожденное свойство)

Метаболизм — это просто постоянная, которая не меняется:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{C_i(t) = m_i} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \displaystyle{m_i} }[/math] — метаболизм агента (задан при рождении).

Уровень 4: Условие выживания (условие смерти/рождения)

Агент умирает, если его богатство падает ниже нуля:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{\text{Живой}_i(t) = \begin{cases} 1, & \text{если } W_i(t) \gt 0 \text{ и } \text{Возраст}_i \lt L_i \\ 0, & \text{иначе} \end{cases}} }[/math]

При смерти рождается новый агент с начальным богатством, выбранным из распределения реально существующих богатств:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{W_{new}(t) \sim \text{Uniform}(W_{min}(t), W_{max}(t))} }[/math]

Это создаёт эндогенность: Распределение богатства в периоде $t$ определяет начальные условия для периода $t+1$.

Почему это система одновременных уравнений?

1. Доход Y зависит от видимости v
2. Видимость v... ПОСТОЯННА (не зависит ни от чего)
3. Богатство W = W_прошлое + Y - C
4. Если W < 0, агент умирает
5. Новый агент появляется с W_new из диапазона [min(W), max(W)]
6. Но этот диапазон зависит от распределения всех W в обществе
7. Которое зависит от того, кто выжил, кто умер
8. Что зависит от шага 4
9. Что зависит от шага 3...

В классической эконометрической терминологии см. Система эконометрических уравнений

Экзогенные переменные (даны извне):

1. Видимость [math]\displaystyle{ \displaystyle{v_i} }[/math] каждого агента (задана при рождении)
2. Метаболизм [math]\displaystyle{ \displaystyle{m_i} }[/math] (задан при рождении)
3. Общее количество зерна в экономике [math]\displaystyle{ \displaystyle{G_{total}} }[/math]
4. Случайное везение [math]\displaystyle{ \displaystyle{\varepsilon_t} }[/math]

Система уравнений в общем виде

Система эконометрических уравнений для Wealth Distribution в стандартной форме.

Структурная форма системы

[math]\displaystyle{ \displaystyle{\begin{cases} W_i(t+1) = \beta_0 + \beta_1 W_i(t) + \beta_2 Y_i(t) + \beta_3 m_i + u_{1,i}(t) \\ Y_i(t) = \gamma_0 + \gamma_1 v_i + u_{2,i}(t) \\ \text{Выжил}_i(t) = \delta_0 + \delta_1 W_i(t) + \delta_2 \text{Возраст}_i(t) + u_{3,i}(t) \\ G(t) = f(W_1(t), W_2(t), \ldots, W_n(t)) \end{cases}} }[/math]

Интерпретация коэффициентов

- [math]\displaystyle{ \displaystyle{\beta_0 = 0} }[/math] (нет начального богатства из ниоткуда) - [math]\displaystyle{ \displaystyle{\beta_1 = 1} }[/math] (богатство сохраняется) - [math]\displaystyle{ \displaystyle{\beta_2 = 1} }[/math] (весь доход добавляется к богатству) - [math]\displaystyle{ \displaystyle{\beta_3 = -1} }[/math] (весь метаболизм вычитается) - [math]\displaystyle{ \displaystyle{\gamma_1 \gt 0} }[/math] (чем больше видимость, тем больше доход) - [math]\displaystyle{ \displaystyle{\delta_1 \gt 0} }[/math] (чем больше богатство, тем больше вероятность выжить)

Приведённая форма системы

[math]\displaystyle{ \displaystyle{W_i(t) = \sum_{j=0}^{t-1} [Y_i(t-j) - m_i] = \sum_{j=0}^{t-1} [\gamma_0 + \gamma_1 v_i + u_{2,i}(t-j) - m_i]} }[/math]

Упрощённо

[math]\displaystyle{ \displaystyle{W_i(t) = t \cdot (\gamma_0 + \gamma_1 v_i - m_i) + \sum_{j=0}^{t-1} u_{2,i}(t-j)} }[/math]

Интерпретация

• Если [math]\displaystyle{ \displaystyle{\gamma_1 v_i \gt m_i} }[/math] (доход больше расходов), богатство растёт линейно со временем
• Если [math]\displaystyle{ \displaystyle{\gamma_1 v_i \lt m_i} }[/math] (расходы больше дохода), агент разоряется
• Случайные ошибки накапливаются, создавая то, что видится как везение

Причина: Случайное везение и накопление

Агент 1 в период 1: Встретил плотный участок зерна, собрал 20 единиц [math]\displaystyle{ \displaystyle{W_1(1) = W_0 + 20 - m} }[/math]

Агент 2 в период 1: Не повезло, нашёл мало, собрал 5 единиц [math]\displaystyle{ \displaystyle{W_2(1) = W_0 + 5 - m} }[/math]

В периоде 2:

Агент 1, который теперь богаче, может дольше искать зерно (у него есть запас для потребления). Агент 2, который беднее, должен искать быстро, иначе не выживет.

Более богатый агент имеет преимущество в поиске. Это создаёт положительную обратную связь:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{\text{Больше богатства} \rightarrow \text{Больше времени на поиск} \rightarrow \text{Больше дохода} \rightarrow \text{Больше богатства}} }[/math]

R - уроки

• Wealth Distribution/Lesson R