Simple Economy
| Описание модели | Simple Economy представляет собой базовую модель экономического обмена из второй главы учебника "Introduction to Agent-Based Modeling" Ури Виленского и Уильяма Рэнда. Это мысленный эксперимент простейшей экономической системы, где на каждом временном шаге каждый агент передает один доллар случайно выбранному другому агенту, если у него есть деньги для передачи. |
|---|---|
| Область знаний | Экономика |
| Веб-страница - ссылка на модель | http://www.intro-to-abm.com |
| Видео запись | |
| Разработчики | Wilensky, Rand |
| Среды и средства, в которых реализована модель | NetLogo |
| Диаграмма модели | |
| Описание полей данных, которые модель порождает | |
| Модель создана студентами? | Нет |
Краткое описание модели
Simple Economy представляет собой базовую модель экономического обмена из второй главы учебника "Introduction to Agent-Based Modeling" Ури Виленского и Уильяма Рэнда. Это мысленный эксперимент простейшей экономической системы, где на каждом временном шаге каждый агент передает один доллар случайно выбранному другому агенту, если у него есть деньги для передачи.
Модель иллюстрирует случайное блуждание богатства. Если [math]\displaystyle{ W_i(t) }[/math] — богатство агента [math]\displaystyle{ i }[/math] в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math], то:
[math]\displaystyle{ W_i(t+1) = W_i(t) + X_i(t) - Y_i(t) }[/math]
где [math]\displaystyle{ X_i(t) }[/math] — полученные деньги, [math]\displaystyle{ Y_i(t) }[/math] — отданные деньги.
- Формирование экспоненциального распределения
После многих итераций распределение богатства приближается к экспоненциальному распределению: [math]\displaystyle{ f(w) = \lambda e^{-\lambda w} }[/math] где [math]\displaystyle{ \lambda = 1/\bar{w} }[/math], а [math]\displaystyle{ \bar{w} }[/math] — среднее богатство.
- Параметры этого распределения
- [math]\displaystyle{ M(W) = 1/\lambda }[/math]
- [math]\displaystyle{ D(W) = 1/\lambda^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sigma(W) = 1/\lambda }[/math]
- Статистический анализ модели
Выборочные характеристики богатства позволяют исследовать:
- Распределение выборочного среднего богатства различных групп агентов
- Изменение дисперсии богатства во времени
- Формирование неравенства через коэффициент Джини
Исследование показало, что модель воспроизводит закономерности реального распределения богатства, хотя и в менее экстремальной форме.
Математическое описание модели
- Основные параметры
- Количество агентов: [math]\displaystyle{ N = 500 }[/math] агентов в системе
- Начальное богатство: [math]\displaystyle{ w_i(0) = 100 }[/math] долларов для каждого агента [math]\displaystyle{ i }[/math][1]
- Общее богатство системы: [math]\displaystyle{ W = N \times 100 = 50,000 }[/math] долларов (константа)[1]
- Правила обмена
На каждом временном шаге [math]\displaystyle{ t }[/math] для каждого агента [math]\displaystyle{ i }[/math]:
[math]\displaystyle{ w_i(t+1) = \begin{cases} w_i(t) - 1 + \delta_{i,j}(t) & \text{если } w_i(t) \gt 0 \\ w_i(t) + \delta_{i,j}(t) & \text{если } w_i(t) = 0 \end{cases} }[/math]
- где
- [math]\displaystyle{ w_i(t) }[/math] - богатство агента [math]\displaystyle{ i }[/math] в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math]
- [math]\displaystyle{ \delta_{i,j}(t) }[/math] - индикаторная функция, равная 1, если агент [math]\displaystyle{ i }[/math] получает доллар от агента [math]\displaystyle{ j }[/math], и 0 в противном случае
- [math]\displaystyle{ j }[/math] - случайно выбранный агент-отправитель
- Пространственная визуализация
Каждый агент перемещается к x-координате, равной его текущему богатству: [math]\displaystyle{ x_i(t) = w_i(t) }[/math]
Это создает визуальное представление распределения богатства вдоль горизонтальной оси.
- Механизмы модели
- Инициализация: Создается 500 агентов с начальным богатством 100 долларов каждый
- Случайный выбор: Каждый агент с положительным богатством случайно выбирает другого агента
- Передача: Передает ему один доллар
- Обновление позиций: Агенты перемещаются на x-координаты, соответствующие их богатству
- Повторение: Процесс повторяется на следующем временном шаге
Модель является консервативной - общее количество денег в системе остается постоянным:
[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{N} w_i(t) = W = \text{константа} }[/math]
Модель
Основные переменные для анализа
- Индивидуальные характеристики агентов
- [math]\displaystyle{ w_i(t) }[/math] - богатство каждого агента в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math]
- [math]\displaystyle{ x_i(t) }[/math] - позиция агента (равная его богатству)
- [math]\displaystyle{ transfers\_sent_i(t) }[/math] - количество переводов, отправленных агентом
- [math]\displaystyle{ transfers\_received_i(t) }[/math] - количество переводов, полученных агентом
Агрегированные показатели:
- [math]\displaystyle{ \bar{w}(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} w_i(t) }[/math] - средний уровень богатства - [math]\displaystyle{ \sigma_w^2(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(w_i(t) - \bar{w}(t))^2 }[/math] - дисперсия богатства - [math]\displaystyle{ w_{max}(t) = \max_i w_i(t) }[/math] - максимальное богатство - [math]\displaystyle{ w_{min}(t) = \min_i w_i(t) }[/math] - минимальное богатство
Статистические меры неравенства
[math]\displaystyle{ G(t) = \frac{1}{2N^2\bar{w}(t)}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}|w_i(t) - w_j(t)| }[/math]
Коэффициент Джини измеряет неравенство распределения богатства от 0 (полное равенство) до 1 (крайнее неравенство).
- Индекс Херфиндаля-Хиршмана для концентрации богатства
[math]\displaystyle{ HHI(t) = \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{w_i(t)}{W}\right)^2 }[/math]
- Энтропия распределения богатства
[math]\displaystyle{ S(t) = -\sum_{i=1}^{N}\frac{w_i(t)}{W}\ln\left(\frac{w_i(t)}{W}\right) }[/math]
- Процентильные характеристики
Доля богатства у топ-процентилей:
- [math]\displaystyle{ Top1\%(t) }[/math] - доля богатства у 1% самых богатых агентов
- [math]\displaystyle{ Top10\%(t) }[/math] - доля богатства у 10% самых богатых агентов
- [math]\displaystyle{ Bottom50\%(t) }[/math] - доля богатства у 50% самых бедных агентов[7]
- Квантили распределения
[math]\displaystyle{ Q_p(t) = \inf\{w : F_w(w,t) \geq p\} }[/math]
где [math]\displaystyle{ F_w(w,t) }[/math] - кумулятивная функция распределения богатства в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math].
Динамические характеристики
- Мобильность богатства
[math]\displaystyle{ Mobility(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}|rank_i(t) - rank_i(0)| }[/math]
где [math]\displaystyle{ rank_i(t) }[/math] - ранг агента [math]\displaystyle{ i }[/math] по богатству в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math].
- Корреляция богатства во времени
[math]\displaystyle{ \rho(t,s) = \frac{Cov(W(t),W(s))}{\sigma_W(t)\sigma_W(s)} }[/math]
- Распределения вероятностей
Модель демонстрирует эволюцию от равномерного к экспоненциальному распределению богатства :
Стационарное распределение: [math]\displaystyle{ P(w) = \frac{1}{\langle w \rangle}e^{-w/\langle w \rangle} }[/math]
где [math]\displaystyle{ \langle w \rangle }[/math] - среднее богатство.
Временные ряды для анализа
- Основные временные ряды
- [math]\displaystyle{ \{G(t)\}_{t=0}^T }[/math] - эволюция коэффициента Джини
- [math]\displaystyle{ \{S(t)\}_{t=0}^T }[/math] - изменение энтропии системы
- [math]\displaystyle{ \{\sigma_w^2(t)\}_{t=0}^T }[/math] - динамика дисперсии богатства
- [math]\displaystyle{ \{Top10\%(t)\}_{t=0}^T }[/math] - концентрация богатства у элиты
Статистический анализ в R
- Описательная статистика - основные статистики распределения богатства
summary_stats <- function(wealth_data) {
list(
mean = mean(wealth_data),
median = median(wealth_data),
sd = sd(wealth_data),
gini = gini_coefficient(wealth_data),
entropy = entropy(wealth_data)
)
}
