Метод Монте-Карло
| Описание | Метод Монте-Карло — это вычислительный метод, основанный на использовании случайных выборок для решения детерминированных и стохастических задач. Метод назван в честь Монте-Карло в княжестве Монако, известного своим казино и игрой в рулетку, так как суть метода связана со случайными числами, подобно вероятностной природе азартных игр. В образовательном контексте метод Монте-Карло применяется для моделирования различных физических и социально-экономических систем. Метод позволяет студентам убедиться в функциональности численных подходов и исследовать, как точность метода зависит от количества выборок |
|---|---|
| Область знаний | Игра, Статистика |
| Авторы | Госсет, Нейман |
| Поясняющее видео | |
| Близкие понятия | |
| Среды и средства для освоения понятия | NetLogo, R, CODAP |
Исторически первое применение метода Монте-Карло связано с работой Уильяма Госсета в 1908 году, который использовал методы случайной выборки для открытия распределения Стьюдента. Систематическое развитие метода произошло в 1940-х годах благодаря работам Джона фон Неймана и Станислава Улама при разработке атомной бомбы в проекте Манхэттен.
Метод Монте-Карло базируется на трёх фундаментальных принципах:
- Построение вероятностной модели
- Формулируется математическая модель, связывающая выходные и входные переменные. Модель должна включать как детерминированные компоненты, так и случайные элементы, представляющие неопределённость: [math]\displaystyle{ \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \xrightarrow{P} \mu = E[X] }[/math]
- Выбор вероятностных распределений
- Для каждой случайной переменной выбирается подходящее распределение вероятностей — нормальное, равномерное, экспоненциальное и др. В образовательных приложениях обычно используются стандартные распределения.
- Генерация случайных выборок
- Создаётся большой набор случайных выборок (обычно 100 000 или более) в соответствии с выбранными распределениями. На основе закона больших чисел, при увеличении размера выборки, статистические характеристики выборки сходятся к теоретическим параметрам.
Закон больших чисел — фундаментальный принцип, утверждающий, что выборочное среднее сходится к математическому ожиданию по вероятности при увеличении размера выборки: [math]\displaystyle{ \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \xrightarrow{P} \mu = E[X] }[/math]
Центральная предельная теорема объясняет, почему нормальное распределение встречается так часто в природе и почему метод Монте-Карло обеспечивает надёжные доверительные интервалы
| Description | |
|---|---|
| Метод Монте-Карло | Метод Монте-Карло — это вычислительный метод, основанный на использовании случайных выборок для решения детерминированных и стохастических задач. Метод назван в честь Монте-Карло в княжестве Монако, известного своим казино и игрой в рулетку, так как суть метода связана со случайными числами, подобно вероятностной природе азартных игр. В образовательном контексте метод Монте-Карло применяется для моделирования различных физических и социально-экономических систем. Метод позволяет студентам убедиться в функциональности численных подходов и исследовать, как точность метода зависит от количества выборок |
| Центральная предельная теорема | Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному. Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения. |
