Wealth Distribution

Описание модели	Модель распределения богатства в экономике. Данная модель представляет собой агентную вычислительную модель (Agent-based Model) распределения богатства, основанную на классической работе Эпштейна и Акстелла "Sugarscape". Модель демонстрирует механизм неравенства в распределении богатства, где "богатые становятся богаче, а бедные беднее", что соответствует закону Парето.
Область знаний	Социология, Экономика, Обществознание, Статистика
Веб-страница - ссылка на модель
Видео запись
Разработчики
Среды и средства, в которых реализована модель	NetLogo
Диаграмма модели
Описание полей данных, которые модель порождает
Модель создана студентами?	Нет

Описание

Симуляция распределения богатства, демонстрирующая закон Парето и неравенство доходов.

Ключевые элементы

• Агенты с различным метаболизмом
• Ограниченные ресурсы (зерно)
• Наследование и жизненные циклы

Эконометрическое применение

Расчет коэффициента Джини для измерения неравенства:

[math]\displaystyle{ \text{Gini} = 1 - \sum_{k=0}^{n-1}(X_{k+1} - X_k)(Y_{k+1} + Y_k) }[/math] где X — кумулятивная доля населения, Y — кумулятивная доля богатства.

Основные агенты и их свойства

В модели присутствуют два типа агентов:

Участки земли (patches) - содержат зерно с определенной емкостью роста

• Каждый участок имеет максимальную емкость зерна [math]\displaystyle{ C_i }[/math]
• На каждом такте участок восстанавливает одну единицу зерна до максимума
• Цвет участка отражает количество зерна: чем темнее желтый, тем больше зерна

Люди (agents) - экономические агенты со следующими характеристиками

• Метаболизм [math]\displaystyle{ m_i }[/math] - количество зерна, потребляемое за один такт (тик)
• Видимость [math]\displaystyle{ v_i }[/math] - радиус видимости для поиска зерна
• Продолжительность жизни [math]\displaystyle{ L_i }[/math] - случайная величина от 60 до 100 тактов
• Богатство [math]\displaystyle{ W_i }[/math] - накопленное количество зерна

Динамика модели

Движение агентов

На каждом такте агент [math]\displaystyle{ i }[/math] перемещается в незанятую клетку в пределах своего зрения, где количество зерна [math]\displaystyle{ G_j }[/math] максимально:

[math]\displaystyle{ G_j = \max_{k \in V_i} G_k }[/math]

где [math]\displaystyle{ V_i }[/math] - множество видимых клеток для агента [math]\displaystyle{ i }[/math].

Потребление и накопление

После перемещения агент собирает все зерно и потребляет согласно метаболизму: [math]\displaystyle{ W_i(t+1) = W_i(t) + G_j - m_i }[/math]

Смерть и рождение

Агент умирает, если [math]\displaystyle{ W_i = 0 }[/math] или возраст превышает [math]\displaystyle{ L_i }[/math]. При смерти создается новый агент с:

• Случайным метаболизмом из диапазона [math]\displaystyle{ [m_{min}, m_{max}] }[/math]
• Случайным богатством [math]\displaystyle{ W_{new} \sim U(W_{min}, W_{max}) }[/math], где [math]\displaystyle{ W_{min} }[/math] и [math]\displaystyle{ W_{max} }[/math] - богатство самого бедного и богатого агента
• Отсутствием наследования богатства

Коэффициент Джини

Коэффициент Джини [math]\displaystyle{ G }[/math] - численная мера неравенства, рассчитываемая как отношение площадей:

[math]\displaystyle{ G = \frac{A}{A + B} }[/math]

где:

• [math]\displaystyle{ A }[/math] - площадь между линией равенства и кривой Лоренца
• [math]\displaystyle{ B }[/math] - площадь под кривой Лоренца

Поскольку [math]\displaystyle{ A + B = 0.5 }[/math], формула упрощается до:

[math]\displaystyle{ G = 2A = 1 - 2B }[/math]

Для дискретного распределения богатства:

[math]\displaystyle{ G = \frac{2\sum_{i=1}^{n} i \cdot W_i}{n \sum_{i=1}^{n} W_i} - \frac{n+1}{n} }[/math]

где [math]\displaystyle{ W_i }[/math] - богатство [math]\displaystyle{ i }[/math]-го агента в порядке возрастания

Интерпретация коэффициента Джини:

• [math]\displaystyle{ G = 0 }[/math] - абсолютное равенство
• [math]\displaystyle{ G = 1 }[/math] - абсолютное неравенство (один агент владеет всем богатством)

Основные переменные для анализа

Индивидуальные характеристики агентов

[math]\displaystyle{ w_i(t) }[/math] - богатство каждого агента в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math]

[math]\displaystyle{ x_i(t) }[/math] - позиция агента (равная его богатству)

[math]\displaystyle{ transfers\_sent_i(t) }[/math] - количество переводов, отправленных агентом

[math]\displaystyle{ transfers\_received_i(t) }[/math] - количество переводов, полученных агентом

Агрегированные показатели:

- [math]\displaystyle{ \bar{w}(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} w_i(t) }[/math] - средний уровень богатства - [math]\displaystyle{ \sigma_w^2(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(w_i(t) - \bar{w}(t))^2 }[/math] - дисперсия богатства - [math]\displaystyle{ w_{max}(t) = \max_i w_i(t) }[/math] - максимальное богатство - [math]\displaystyle{ w_{min}(t) = \min_i w_i(t) }[/math] - минимальное богатство

Статистические меры неравенства

Коэффициент Джини

[math]\displaystyle{ G(t) = \frac{1}{2N^2\bar{w}(t)}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}|w_i(t) - w_j(t)| }[/math]

Коэффициент Джини измеряет неравенство распределения богатства от 0 (полное равенство) до 1 (крайнее неравенство).

Индекс Херфиндаля-Хиршмана для концентрации богатства

[math]\displaystyle{ HHI(t) = \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{w_i(t)}{W}\right)^2 }[/math]

Энтропия распределения богатства

[math]\displaystyle{ S(t) = -\sum_{i=1}^{N}\frac{w_i(t)}{W}\ln\left(\frac{w_i(t)}{W}\right) }[/math]

Процентильные характеристики

Доля богатства у топ-процентилей:

• [math]\displaystyle{ Top1\%(t) }[/math] - доля богатства у 1% самых богатых агентов
• [math]\displaystyle{ Top10\%(t) }[/math] - доля богатства у 10% самых богатых агентов
• [math]\displaystyle{ Bottom50\%(t) }[/math] - доля богатства у 50% самых бедных агентов[7]

Квантили распределения

[math]\displaystyle{ Q_p(t) = \inf\{w : F_w(w,t) \geq p\} }[/math]

где [math]\displaystyle{ F_w(w,t) }[/math] - кумулятивная функция распределения богатства в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math].

Динамические характеристики

Мобильность богатства

[math]\displaystyle{ Mobility(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}|rank_i(t) - rank_i(0)| }[/math]

где [math]\displaystyle{ rank_i(t) }[/math] - ранг агента [math]\displaystyle{ i }[/math] по богатству в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math].

Корреляция богатства во времени

[math]\displaystyle{ \rho(t,s) = \frac{Cov(W(t),W(s))}{\sigma_W(t)\sigma_W(s)} }[/math]

Распределения вероятностей

Модель демонстрирует эволюцию от равномерного к экспоненциальному распределению богатства :

Стационарное распределение: [math]\displaystyle{ P(w) = \frac{1}{\langle w \rangle}e^{-w/\langle w \rangle} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \langle w \rangle }[/math] - среднее богатство.

Временные ряды для анализа

Основные временные ряды

1. [math]\displaystyle{ \{G(t)\}_{t=0}^T }[/math] - эволюция коэффициента Джини
2. [math]\displaystyle{ \{S(t)\}_{t=0}^T }[/math] - изменение энтропии системы
3. [math]\displaystyle{ \{\sigma_w^2(t)\}_{t=0}^T }[/math] - динамика дисперсии богатства
4. [math]\displaystyle{ \{Top10\%(t)\}_{t=0}^T }[/math] - концентрация богатства у элиты

Статистический анализ в R

Описательная статистика - основные статистики распределения богатства

summary_stats <- function(wealth_data) {

 list(
   mean = mean(wealth_data),
   median = median(wealth_data),
   sd = sd(wealth_data),
   gini = gini_coefficient(wealth_data),
   entropy = entropy(wealth_data)
 )

}