Simple Economy

Описание модели	Simple Economy представляет собой базовую модель экономического обмена из второй главы учебника "Introduction to Agent-Based Modeling" Ури Виленского и Уильяма Рэнда. Это мысленный эксперимент простейшей экономической системы, где на каждом временном шаге каждый агент передает один доллар случайно выбранному другому агенту, если у него есть деньги для передачи.
Область знаний	Экономика
Веб-страница - ссылка на модель	http://www.intro-to-abm.com
Видео запись
Разработчики	Wilensky, Rand
Среды и средства, в которых реализована модель	NetLogo
Диаграмма модели
Описание полей данных, которые модель порождает
Модель создана студентами?	Нет

Модель Simple Economy: Агентный подход к изучению экономического обмена

Краткое описание модели

Simple Economy представляет собой базовую модель экономического обмена из второй главы учебника "Introduction to Agent-Based Modeling" Ури Виленского и Уильяма Рэнда. Это мысленный эксперимент простейшей экономической системы, где на каждом временном шаге каждый агент передает один доллар случайно выбранному другому агенту, если у него есть деньги для передачи.

Математическое описание модели =

Основные параметры

• Количество агентов: [math]\displaystyle{ N = 500 }[/math] агентов в системе
• Начальное богатство: [math]\displaystyle{ w_i(0) = 100 }[/math] долларов для каждого агента [math]\displaystyle{ i }[/math][1]
• Общее богатство системы: [math]\displaystyle{ W = N \times 100 = 50,000 }[/math] долларов (константа)[1]

Правила обмена

На каждом временном шаге [math]\displaystyle{ t }[/math] для каждого агента [math]\displaystyle{ i }[/math]:

[math]\displaystyle{ w_i(t+1) = \begin{cases} w_i(t) - 1 + \delta_{i,j}(t) & \text{если } w_i(t) \gt 0 \\ w_i(t) + \delta_{i,j}(t) & \text{если } w_i(t) = 0 \end{cases} }[/math]

где

[math]\displaystyle{ w_i(t) }[/math] - богатство агента [math]\displaystyle{ i }[/math] в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math]

[math]\displaystyle{ \delta_{i,j}(t) }[/math] - индикаторная функция, равная 1, если агент [math]\displaystyle{ i }[/math] получает доллар от агента [math]\displaystyle{ j }[/math], и 0 в противном случае

[math]\displaystyle{ j }[/math] - случайно выбранный агент-отправитель

Пространственная визуализация

Каждый агент перемещается к x-координате, равной его текущему богатству: [math]\displaystyle{ x_i(t) = w_i(t) }[/math]

Это создает визуальное представление распределения богатства вдоль горизонтальной оси.

Механизмы модели

1. Инициализация: Создается 500 агентов с начальным богатством 100 долларов каждый
2. Случайный выбор: Каждый агент с положительным богатством случайно выбирает другого агента
3. Передача: Передает ему один доллар
4. Обновление позиций: Агенты перемещаются на x-координаты, соответствующие их богатству
5. Повторение: Процесс повторяется на следующем временном шаге

Модель является консервативной - общее количество денег в системе остается постоянным:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{N} w_i(t) = W = \text{константа} }[/math]

Основные переменные для анализа

Индивидуальные характеристики агентов

[math]\displaystyle{ w_i(t) }[/math] - богатство каждого агента в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math]

[math]\displaystyle{ x_i(t) }[/math] - позиция агента (равная его богатству)

[math]\displaystyle{ transfers\_sent_i(t) }[/math] - количество переводов, отправленных агентом

[math]\displaystyle{ transfers\_received_i(t) }[/math] - количество переводов, полученных агентом

Агрегированные показатели:

- [math]\displaystyle{ \bar{w}(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} w_i(t) }[/math] - средний уровень богатства - [math]\displaystyle{ \sigma_w^2(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(w_i(t) - \bar{w}(t))^2 }[/math] - дисперсия богатства - [math]\displaystyle{ w_{max}(t) = \max_i w_i(t) }[/math] - максимальное богатство - [math]\displaystyle{ w_{min}(t) = \min_i w_i(t) }[/math] - минимальное богатство

Статистические меры неравенства

Коэффициент Джини

[math]\displaystyle{ G(t) = \frac{1}{2N^2\bar{w}(t)}\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}|w_i(t) - w_j(t)| }[/math]

Коэффициент Джини измеряет неравенство распределения богатства от 0 (полное равенство) до 1 (крайнее неравенство).

Индекс Херфиндаля-Хиршмана для концентрации богатства

[math]\displaystyle{ HHI(t) = \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{w_i(t)}{W}\right)^2 }[/math]

Энтропия распределения богатства

[math]\displaystyle{ S(t) = -\sum_{i=1}^{N}\frac{w_i(t)}{W}\ln\left(\frac{w_i(t)}{W}\right) }[/math]

Процентильные характеристики

Доля богатства у топ-процентилей:

• [math]\displaystyle{ Top1\%(t) }[/math] - доля богатства у 1% самых богатых агентов
• [math]\displaystyle{ Top10\%(t) }[/math] - доля богатства у 10% самых богатых агентов
• [math]\displaystyle{ Bottom50\%(t) }[/math] - доля богатства у 50% самых бедных агентов[7]

Квантили распределения

[math]\displaystyle{ Q_p(t) = \inf\{w : F_w(w,t) \geq p\} }[/math]

где [math]\displaystyle{ F_w(w,t) }[/math] - кумулятивная функция распределения богатства в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math].

Динамические характеристики

Мобильность богатства

[math]\displaystyle{ Mobility(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}|rank_i(t) - rank_i(0)| }[/math]

где [math]\displaystyle{ rank_i(t) }[/math] - ранг агента [math]\displaystyle{ i }[/math] по богатству в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math].

Корреляция богатства во времени

[math]\displaystyle{ \rho(t,s) = \frac{Cov(W(t),W(s))}{\sigma_W(t)\sigma_W(s)} }[/math]

Распределения вероятностей

Модель демонстрирует эволюцию от равномерного к экспоненциальному распределению богатства :

Стационарное распределение: [math]\displaystyle{ P(w) = \frac{1}{\langle w \rangle}e^{-w/\langle w \rangle} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \langle w \rangle }[/math] - среднее богатство.

Временные ряды для анализа

Основные временные ряды

1. [math]\displaystyle{ \{G(t)\}_{t=0}^T }[/math] - эволюция коэффициента Джини
2. [math]\displaystyle{ \{S(t)\}_{t=0}^T }[/math] - изменение энтропии системы
3. [math]\displaystyle{ \{\sigma_w^2(t)\}_{t=0}^T }[/math] - динамика дисперсии богатства
4. [math]\displaystyle{ \{Top10\%(t)\}_{t=0}^T }[/math] - концентрация богатства у элиты

Статистический анализ в R

Описательная статистика - основные статистики распределения богатства

summary_stats <- function(wealth_data) {
  list(
    mean = mean(wealth_data),
    median = median(wealth_data),
    sd = sd(wealth_data),
    gini = gini_coefficient(wealth_data),
    entropy = entropy(wealth_data)
  )
}