Логистическая функция

Описание	Логистическая функция (от позднелат. logisticus — ритмический, пропорциональный) — это математическая функция, которая описывает S-образный процесс роста, где скорость увеличения сначала ускоряется, а затем замедляется по мере приближения к предельному значению.
Область знаний	Математика, Экономика, Моделирование, Коррекционная педагогика
Авторы	Ферхюльст
Поясняющее видео
Близкие понятия
Среды и средства для освоения понятия	Small group discussion, Language Change

Логистическая функция в стандартной форме записывается как:

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{L}{1 + e^{-k(x - x_0)}} }[/math]

где:

• L — верхний асимптотический предел (максимальное значение функции); обычно L = 1
• e — число Эйлера (≈ 2.718)
• k — крутизна кривой (параметр наклона); определяет скорость перехода
• x₀ — точка смещения (x-координата точки перегиба); значение x, при котором f(x) = L/2
• x — независимая переменная

В упрощённом виде (L = 1):

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{1 + e^{-kx}} }[/math]

В XX веке логистическая функция нашла применение в:

• Биологии — рост популяций, распространение эпидемий
• Экономике — диффузия инноваций, насыщение рынков
• Социологии — распространение информации, принятие технологий
• Психологии — процессы обучения, формирование привычек
• Педагогике — изменение убеждений, развитие компетенций

В педагогической модели дискуссии Small group discussion логистическая функция используется для моделирования процесса изменения убеждений агентов.

Человеческое обучение не линейно. Оно следует S-образной кривой:

• Начало: медленное усвоение новых идей, сопротивление изменениям
• Ускорение: когда идея становится более понятной, ускоряется адаптация
• Замедление: по мере развития компетентности, дальнейший рост требует всё большего усилия

Представим студента, начинающего с низкой активностью K_ii = 0.3 (не уверен в своей способности говорить).

В результате позитивных взаимодействий (благоприятные транзакции, поддержка одноклассников) его убеждение меняется:

Момент времени (тик)	Kii (убеждение о своей активности)	Интерпретация
t = 0	0.30	Низкая уверенность в своей способности
t = 20	0.38	Медленный рост; начинает немного верить в себя
t = 40	0.48	Ускоренный рост; заметное изменение отношения
t = 60	0.58	Максимальная скорость роста (точка перегиба логистической кривой)
t = 80	0.66	Продолжение роста, но замедление
t = 100	0.72	Рост продолжается, но асимптотически приближается к максимуму
t = 200	0.80	Почти достигнут потолок; дальнейший рост требует значительно больше времени

Литература

• Ферхюльст, П. Ф. (1838). "Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement" — оригинальная статья, где введена логистическая функция
• Murray, J. D. (2002). Mathematical Biology: I. An Introduction. Springer — классический учебник по математической биологии с разделом о логистической функции
• Копосов, Е. М. (2010). Логистическая функция в биологии и математике — краткое введение на русском языке