Логистическая функция
Материал из Поле цифровой дидактики
| Описание | Логистическая функция (от позднелат. logisticus — ритмический, пропорциональный) — это математическая функция, которая описывает S-образный процесс роста, где скорость увеличения сначала ускоряется, а затем замедляется по мере приближения к предельному значению. |
|---|---|
| Область знаний | Математика, Экономика, Моделирование, Коррекционная педагогика |
| Авторы | Ферхюльст |
| Поясняющее видео | |
| Близкие понятия | |
| Среды и средства для освоения понятия |
Логистическая функция в стандартной форме записывается как:
[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{L}{1 + e^{-k(x - x_0)}} }[/math]
где:
- L — верхний асимптотический предел (максимальное значение функции); обычно L = 1
- e — число Эйлера (≈ 2.718)
- k — крутизна кривой (параметр наклона); определяет скорость перехода
- x₀ — точка смещения (x-координата точки перегиба); значение x, при котором f(x) = L/2
- x — независимая переменная
В упрощённом виде (L = 1):
[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{1 + e^{-kx}} }[/math]
В XX веке логистическая функция нашла применение в:
- Биологии — рост популяций, распространение эпидемий
- Экономике — диффузия инноваций, насыщение рынков
- Социологии — распространение информации, принятие технологий
- Психологии — процессы обучения, формирование привычек
- Педагогике — изменение убеждений, развитие компетенций
В педагогической модели дискуссии Small group discussion логистическая функция используется для моделирования процесса изменения убеждений агентов.
Человеческое обучение не линейно. Оно следует S-образной кривой:
- Начало: медленное усвоение новых идей, сопротивление изменениям
- Ускорение: когда идея становится более понятной, ускоряется адаптация
- Замедление: по мере развития компетентности, дальнейший рост требует всё большего усилия
Представим студента, начинающего с низкой активностью Kii = 0.3 (не уверен в своей способности говорить).
В результате позитивных взаимодействий (благоприятные транзакции, поддержка одноклассников) его убеждение меняется:
| Момент времени (тик) | Kii (убеждение о своей активности) | Интерпретация |
|---|---|---|
| t = 0 | 0.30 | Низкая уверенность в своей способности |
| t = 20 | 0.38 | Медленный рост; начинает немного верить в себя |
| t = 40 | 0.48 | Ускоренный рост; заметное изменение отношения |
| t = 60 | 0.58 | Максимальная скорость роста (точка перегиба логистической кривой) |
| t = 80 | 0.66 | Продолжение роста, но замедление |
| t = 100 | 0.72 | Рост продолжается, но асимптотически приближается к максимуму |
| t = 200 | 0.80 | Почти достигнут потолок; дальнейший рост требует значительно больше времени |
Литература
- Ферхюльст, П. Ф. (1838). "Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement" — оригинальная статья, где введена логистическая функция
- Murray, J. D. (2002). Mathematical Biology: I. An Introduction. Springer — классический учебник по математической биологии с разделом о логистической функции
- Копосов, Е. М. (2010). Логистическая функция в биологии и математике — краткое введение на русском языке
