Дисперсия случайной ошибки
| Описание | Дисперсия случайной ошибки (англ. error variance) — это статистическая мера разброса случайной компоненты регрессионной модели, показывающая степень вариабельности необъясненной части зависимой переменной. В контексте эконометрического моделирования дисперсия случайной ошибки играет фундаментальную роль в оценке качества модели и статистических выводах. |
|---|---|
| Область знаний | Экономика, Статистика |
| Авторы | |
| Поясняющее видео | |
| Близкие понятия | Гомоскедастичность, Гетероскедастичность |
| Среды и средства для освоения понятия |
Определение и математическая формализация
В линейной регрессионной модели случайная ошибка [math]\displaystyle{ \varepsilon_i }[/math] представляет собой разность между наблюдаемым значением зависимой переменной и её теоретическим значением:
[math]\displaystyle{ y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i }[/math]
Дисперсия случайной ошибки определяется как:
[math]\displaystyle{ D(\varepsilon_i) = E[(\varepsilon_i - E(\varepsilon_i))^2] = E[\varepsilon_i^2] = \sigma^2 }[/math]
где [math]\displaystyle{ \sigma^2 }[/math] — генеральная (истинная) дисперсия случайной ошибки, которая является неизвестным параметром.
Оценивание дисперсии случайной ошибки
- Несмещенная оценка для парной регрессии
Поскольку истинная дисперсия неизвестна, используется её несмещенная выборочная оценка (исправленная дисперсия):
[math]\displaystyle{ S^2 = \frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^{n} e_i^2 }[/math]
где [math]\displaystyle{ e_i = y_i - \hat{y}_i }[/math] — остатки регрессии, [math]\displaystyle{ n }[/math] — объем выборки.
- Несмещенная оценка для множественной регрессии
Для модели с [math]\displaystyle{ k }[/math] параметрами формула принимает вид:
[math]\displaystyle{ S^2 = \frac{1}{n-k} \sum_{i=1}^{n} e_i^2 }[/math]
Извлекая квадратный корень из оценки дисперсии, получаем стандартную ошибку регрессии:
[math]\displaystyle{ SEE = \sqrt{S^2} = \sqrt{\frac{1}{n-k} \sum_{i=1}^{n} e_i^2} }[/math]
