Дифференциальное уравнение в частных производных: различия между версиями
Материал из Поле цифровой дидактики
Patarakin (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{Понятие |Description=Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных (частные случаи также известны как уравне́ния математи́ческой фи́зики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные произ...») |
Patarakin (обсуждение | вклад) |
||
| (не показано 6 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Понятие | {{Понятие | ||
|Description=Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных (частные случаи также известны как уравне́ния математи́ческой фи́зики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные. | |Description=Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных (частные случаи также известны как уравне́ния математи́ческой фи́зики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные. | ||
|Field_of_knowledge=Математика | |||
|Inventor=Эйлер | |Inventor=Эйлер | ||
|similar_concepts=Дифференциальное уравнение | |similar_concepts=Дифференциальное уравнение, Клеточный автомат, Агентное моделирование, PDE | ||
|Environment=Wolfram | |Environment=Wolfram | ||
}} | }} | ||
| Строка 9: | Строка 10: | ||
: <math> \frac{\partial}{\partial y}u(x,y)=0\, .</math> | : <math> \frac{\partial}{\partial y}u(x,y)=0\, .</math> | ||
Из этого соотношения | Из этого соотношения следует, что значение функции <math>u(x,y)</math> не зависит от <math>y</math>. Мы можем положить её равной произвольной функции от <math>x</math>. Следовательно, общее решение уравнения следующее: | ||
: <math>u(x,y) = f(x),</math> | : <math>u(x,y) = f(x),</math> | ||
где <math>f(x)</math> — произвольная функция переменной <math>x</math>. Аналогичное | где <math>f(x)</math> — произвольная функция переменной <math>x</math>. Аналогичное обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид: | ||
: <math> \frac{dv(x)}{dx}=0</math> | : <math> \frac{dv(x)}{dx}=0</math> | ||
| Строка 22: | Строка 23: | ||
где ''c'' — произвольная математическая константа (не зависящая от <math>x</math>). Эти два примера показывают, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержит произвольные константы, но общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольные функции. Решение дифференциального уравнения в частных производных, вообще говоря, не единственно. В общем случае на границе рассматриваемой области задаются дополнительные условия. Например, решение выше рассмотренного уравнения (функция <math>f(x)</math>) определяется единственным образом, если <math>u</math> определена на линии <math>y=0</math>. | где ''c'' — произвольная математическая константа (не зависящая от <math>x</math>). Эти два примера показывают, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержит произвольные константы, но общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольные функции. Решение дифференциального уравнения в частных производных, вообще говоря, не единственно. В общем случае на границе рассматриваемой области задаются дополнительные условия. Например, решение выше рассмотренного уравнения (функция <math>f(x)</math>) определяется единственным образом, если <math>u</math> определена на линии <math>y=0</math>. | ||
== Сравнение с другими методами ([[ABM]] + [[Клеточный автомат]]) == | |||
Хотя [[Partial Differential Equations]] - [[PDE]] доказали свою чрезвычайно мощную математическую основу, у них есть несколько особенностей, которые могут ограничить их использование для определенных биологических задач. | |||
# Во-первых, PDE детерминированы; это означает, что они обеспечивают единую реализацию системы. Хотя это может быть полезно в некоторых системах, но когда система является стохастической (т. е. результаты работы системы будут различаться), PDE может быть неправильным выбором. | |||
# Во-вторых, PDE требуют полного указания набора уравнений и параметров. Во многих случаях используемые уравнения выбираются для конкретной системы и требуют значительных объемов информации (например, концентрации, плотности частиц, градиентов гидростатического давления жидкостей). Кроме того, было установлено, что формы уравнений верны только при определенных условиях. | |||
# В-третьих, численные методы анализа PDE часто разрабатываются для работы с точными областями и определяющими уравнениями; это может потребовать существенного переписывания кода при изменении предположений и условий. | |||
Текущая версия на 15:04, 16 февраля 2024
| Описание | Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных (частные случаи также известны как уравне́ния математи́ческой фи́зики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные. |
|---|---|
| Область знаний | Математика |
| Авторы | Эйлер |
| Поясняющее видео | |
| Близкие понятия | Дифференциальное уравнение, Клеточный автомат, Агентное моделирование, PDE |
| Среды и средства для освоения понятия | Wolfram |
Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y}u(x,y)=0\, . }[/math]
Из этого соотношения следует, что значение функции [math]\displaystyle{ u(x,y) }[/math] не зависит от [math]\displaystyle{ y }[/math]. Мы можем положить её равной произвольной функции от [math]\displaystyle{ x }[/math]. Следовательно, общее решение уравнения следующее:
- [math]\displaystyle{ u(x,y) = f(x), }[/math]
где [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — произвольная функция переменной [math]\displaystyle{ x }[/math]. Аналогичное обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:
- [math]\displaystyle{ \frac{dv(x)}{dx}=0 }[/math]
и его решение
- [math]\displaystyle{ v(x) = c, }[/math]
где c — произвольная математическая константа (не зависящая от [math]\displaystyle{ x }[/math]). Эти два примера показывают, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержит произвольные константы, но общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольные функции. Решение дифференциального уравнения в частных производных, вообще говоря, не единственно. В общем случае на границе рассматриваемой области задаются дополнительные условия. Например, решение выше рассмотренного уравнения (функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]) определяется единственным образом, если [math]\displaystyle{ u }[/math] определена на линии [math]\displaystyle{ y=0 }[/math].
Сравнение с другими методами (ABM + Клеточный автомат)
Хотя Partial Differential Equations - PDE доказали свою чрезвычайно мощную математическую основу, у них есть несколько особенностей, которые могут ограничить их использование для определенных биологических задач.
- Во-первых, PDE детерминированы; это означает, что они обеспечивают единую реализацию системы. Хотя это может быть полезно в некоторых системах, но когда система является стохастической (т. е. результаты работы системы будут различаться), PDE может быть неправильным выбором.
- Во-вторых, PDE требуют полного указания набора уравнений и параметров. Во многих случаях используемые уравнения выбираются для конкретной системы и требуют значительных объемов информации (например, концентрации, плотности частиц, градиентов гидростатического давления жидкостей). Кроме того, было установлено, что формы уравнений верны только при определенных условиях.
- В-третьих, численные методы анализа PDE часто разрабатываются для работы с точными областями и определяющими уравнениями; это может потребовать существенного переписывания кода при изменении предположений и условий.
