Дифференциальное уравнение в частных производных

Описание	Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных (частные случаи также известны как уравне́ния математи́ческой фи́зики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.
Область знаний	Математика
Авторы	Эйлер
Поясняющее видео
Близкие понятия	Дифференциальное уравнение, Клеточный автомат, Агентное моделирование
Среды и средства для освоения понятия	Wolfram

Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y}u(x,y)=0\, . }[/math]

Из этого соотношения следует, что значение функции [math]\displaystyle{ u(x,y) }[/math] не зависит от [math]\displaystyle{ y }[/math]. Мы можем положить её равной произвольной функции от [math]\displaystyle{ x }[/math]. Следовательно, общее решение уравнения следующее:

[math]\displaystyle{ u(x,y) = f(x), }[/math]

где [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — произвольная функция переменной [math]\displaystyle{ x }[/math]. Аналогичное обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:

[math]\displaystyle{ \frac{dv(x)}{dx}=0 }[/math]

и его решение

[math]\displaystyle{ v(x) = c, }[/math]

где c — произвольная математическая константа (не зависящая от [math]\displaystyle{ x }[/math]). Эти два примера показывают, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержит произвольные константы, но общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольные функции. Решение дифференциального уравнения в частных производных, вообще говоря, не единственно. В общем случае на границе рассматриваемой области задаются дополнительные условия. Например, решение выше рассмотренного уравнения (функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]) определяется единственным образом, если [math]\displaystyle{ u }[/math] определена на линии [math]\displaystyle{ y=0 }[/math].

Сравнение с другими методами

Хотя Partial Differential Equations - PDE доказали свою чрезвычайно мощную математическую основу, у них есть несколько особенностей, которые могут ограничить их использование для определенных биологических задач.

1. Во-первых, PDE детерминированы; это означает, что они обеспечивают единую реализацию системы. Хотя это может быть полезно в некоторых системах, но когда система является стохастической (т. е. результаты работы системы будут различаться), PDE может быть неправильным выбором.
2. Во-вторых, PDE требуют полного указания набора уравнений и параметров. Во многих случаях используемые уравнения выбираются для конкретной системы и требуют значительных объемов информации (например, концентрации, плотности частиц, градиентов гидростатического давления жидкостей). Кроме того, было установлено, что формы уравнений верны только при определенных условиях.
3. В-третьих, численные методы анализа PDE часто разрабатываются для работы с точными областями и определяющими уравнениями; это может потребовать существенного переписывания кода при изменении предположений и условий.