Тест Харке — Бера

Краткое описание инструмента	Тест Ха́рке—Бе́ра (англ. Jarque-Bera test) — это статистический тест, проверяющий ошибки наблюдений на нормальность посредством сверки их третьего момента (асимметрия) и четвёртого момента (эксцесс) с моментами нормального распределения
Возможности
Трудности использования
Область знаний	Экономика, Статистика
Область применения
Поясняющее видео
Веб-сайт
Пользователи	Учащиеся, Преподаватели
Используется для создания (проведения)	Статистический анализ
Разработчик
Сообщество вокруг средства
Лицензия
Год первого релиза
Совместное сетевое использование	Нет
Какой язык основной	English
Есть ли поддержка Искусственным Интеллектом	Нет

Математика теста

Тест Харке — Бера проверяет гипотезу о нормальности распределения на основе двух моментов высшего порядка: асимметрии (skewness) и эксцесса (kurtosis). Статистика теста JB определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ JB = \frac{n}{6} \left( S^2 + \frac{1}{4}(K - 3)^2 \right) }[/math]

Где:

• [math]\displaystyle{ n }[/math] — количество наблюдений (объем выборки);
• [math]\displaystyle{ S }[/math] — выборочный коэффициент асимметрии (Skewness). Для нормального распределения [math]\displaystyle{ S = 0 }[/math];
• [math]\displaystyle{ K }[/math] — выборочный коэффициент эксцесса (Kurtosis). Для нормального распределения [math]\displaystyle{ K = 3 }[/math].

Формулы для расчета коэффициентов:

[math]\displaystyle{ S = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^3}{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \right)^{3/2}} }[/math]

[math]\displaystyle{ K = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^4}{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \right)^{2}} }[/math]

Если данные распределены нормально, статистика [math]\displaystyle{ JB }[/math] асимптотически имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы: [math]\displaystyle{ JB \sim \chi^2(2) }[/math].

Применение в R и интерпретация

В языке R тест выполняется функцией jarque.bera.test() из пакета tseries

install.packages("tseries")
library(tseries)

result_jb <- jarque.bera.test(data$wealth)
print(result_jb)

NetLogo

В агентной модели Wealth Distribution распределения богатства этот тест является индикатором формирования cтепенного закона (Power Law):

• В начале симуляции (t=0), если мы задали агентам случайное богатство равномерно или нормально, [math]\displaystyle{ JB }[/math] будет относительно небольшим.
• По мере работы модели ("богатые богатеют"), гистограмма вытягивается вправо (появляется "хвост" олигархов). Асимметрия ([math]\displaystyle{ S }[/math]) резко растет, а эксцесс ([math]\displaystyle{ K }[/math]) становится огромным.

Можно построить график изменения величины [math]\displaystyle{ JB }[/math] от времени (ticks). Рост [math]\displaystyle{ JB }[/math] показывает процесс разрушения равенства и перехода системы в неравновесное состояние Парето.