Центральная предельная теорема: различия между версиями
Материал из Поле цифровой дидактики
Patarakin (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{Понятие |Description=Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не дом...») |
Patarakin (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 4: | Строка 4: | ||
|Environment=NetLogo, StarLogo Nova, R | |Environment=NetLogo, StarLogo Nova, R | ||
}} | }} | ||
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7b/IllustrationCentralTheorem.png/600px-IllustrationCentralTheorem.png | |||
== Классическая ЦПТ == | == Классическая ЦПТ == | ||
Пусть <math>X_1,\ldots, X_n</math> есть последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечные [[математическое ожидание]] <math>\mu</math> и [[Дисперсия случайной величины|дисперсию]] <math>\sigma^2</math>. Пусть также | Пусть <math>X_1,\ldots, X_n</math> есть последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечные [[математическое ожидание]] <math>\mu</math> и [[Дисперсия случайной величины|дисперсию]] <math>\sigma^2</math>. Пусть также | ||
| Строка 13: | Строка 16: | ||
можно переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде: | можно переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде: | ||
: <math>\sqrt{n} \frac{ \bar{X}_n - \mu}{\sigma} \to N(0,1)</math> [[Сходимость по распределению|по распределению]] при <math>n \to \infty</math>. | : <math>\sqrt{n} \frac{ \bar{X}_n - \mu}{\sigma} \to N(0,1)</math> [[Сходимость по распределению|по распределению]] при <math>n \to \infty</math>. | ||
Текущая версия на 12:16, 16 апреля 2024
| Описание | Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному. Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения. |
|---|---|
| Область знаний | Математика |
| Авторы | |
| Поясняющее видео | |
| Близкие понятия | |
| Среды и средства для освоения понятия | NetLogo, StarLogo Nova, R |
Классическая ЦПТ
Пусть [math]\displaystyle{ X_1,\ldots, X_n }[/math] есть последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечные математическое ожидание [math]\displaystyle{ \mu }[/math] и дисперсию [math]\displaystyle{ \sigma^2 }[/math]. Пусть также
- [math]\displaystyle{ S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i }[/math].
Тогда
- [math]\displaystyle{ \frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt n} \to N(0,1) }[/math] по распределению при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math],
где [math]\displaystyle{ N(0,1) }[/math] — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Определяя выборочное среднее первых [math]\displaystyle{ n }[/math] величин как
- [math]\displaystyle{ \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i }[/math],
можно переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:
- [math]\displaystyle{ \sqrt{n} \frac{ \bar{X}_n - \mu}{\sigma} \to N(0,1) }[/math] по распределению при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math].
