Матрица

Описание	Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
Область знаний	NetSci, Математика
Авторы
Поясняющее видео
Близкие понятия
Среды и средства для освоения понятия

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами. Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-м столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса».

Системы линейных уравнений

[math]\displaystyle{ \begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} }[/math].

Эта система состоит из [math]\displaystyle{ m }[/math] линейных уравнений относительно [math]\displaystyle{ n }[/math] неизвестных. Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения :

[math]\displaystyle{ Ax = b }[/math],

где

[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ; \quad x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ; \quad b = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix} }[/math]

Матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец [math]\displaystyle{ x }[/math] — вектор неизвестных, а вектор-столбец [math]\displaystyle{ b }[/math] — некоторый заданный вектор.

Обозначения

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть

[math]\displaystyle{ A\colon M\times N\to\mathcal{K}, }[/math]

тогда [math]\displaystyle{ A }[/math] — матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля [math]\displaystyle{ \mathcal{K} }[/math] вида [math]\displaystyle{ a_{ij}=A(i,j) }[/math], где

• первый индекс означает индекс строки: [math]\displaystyle{ i=\overline{1,m} }[/math];
• второй индекс означает индекс столбца: [math]\displaystyle{ j=\overline{1,n} }[/math];

таким образом, [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] — элемент матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], находящийся на пересечении [math]\displaystyle{ i }[/math]-й строки и [math]\displaystyle{ j }[/math]-го столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера [math]\displaystyle{ m\times n }[/math]:

[math]\displaystyle{ A=(a_{ij})_{i=1,j=1}^{m,n}, }[/math]

или просто

[math]\displaystyle{ A=(a_{ij}), }[/math]

если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы.

Иногда, вместо [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math], пишут [math]\displaystyle{ a_{i,j} }[/math], чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.

Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix},\quad\left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right],\quad\left\|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right\| }[/math]

Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями «||…||»).

Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:

[math]\displaystyle{ a_{i\cdot}=A_i=[ \begin{array}{ccccc} a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \end{array}] }[/math] — это [math]\displaystyle{ i }[/math]-я строка матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math],

а

[math]\displaystyle{ a_{\cdot j}=A^j=\left[ \begin{array}{c} a_{1j}\\\vdots \\a_{ij} \\\vdots \\a_{mj} \\ \end{array}\right] }[/math] — это [math]\displaystyle{ j }[/math]-й столбец матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].

Таким образом, матрица обладает двойственным представлением — по строкам:

[math]\displaystyle{ A=[ \begin{array}{ccccc} A^{1} & \cdots & A^{j} & \cdots & A^{n} \\ \end{array}] }[/math]

и по столбцам:

[math]\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{c} A_{1}\\\vdots \\A_{i} \\\vdots \\A_{m} \\ \end{array}\right] }[/math].

Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.

Транспонированная матрица

Для каждой матрицы [math]\displaystyle{ A=(a_{i,j})_{\begin{smallmatrix} i=\overline{1,m} \\ j=\overline{1,n} \end{smallmatrix}}= \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix} }[/math] размера [math]\displaystyle{ m\times n }[/math]

можно построить матрицу [math]\displaystyle{ B=(b_{j,i})_{\begin{smallmatrix} j=\overline{1,n} \\ i=\overline{1,m} \end{smallmatrix}}= \begin{pmatrix} b_{1,1} & \cdots & b_{1,m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,1} & \cdots & b_{n,m} \end{pmatrix} }[/math] размера [math]\displaystyle{ n\times m }[/math],

у которой [math]\displaystyle{ b_{j,i}=a_{i,j} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ i=\overline{1,m} }[/math] и [math]\displaystyle{ j=\overline{1,n} }[/math].

Такая матрица называется транспонированной матрицей для [math]\displaystyle{ A }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ A^{T} }[/math],

иногда (если нет возможности спутать с дифференцированием) обозначается [math]\displaystyle{ A' }[/math],

иногда (если нет возможности спутать с эрмитовым сопряжением) обозначается [math]\displaystyle{ A^{*} }[/math].

При транспонировании строки (столбцы) матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] становятся столбцами (соответственно - строками) матрицы [math]\displaystyle{ A^{T} }[/math].

Очевидно, [math]\displaystyle{ (A^{T})^{T}=A }[/math].

Единичная матрица

Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:

[math]\displaystyle{ \mathrm{diag}(1, 1, \dots, 1). }[/math]

Для её обозначения чаще всего используется обозначение I или E, а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом).

Для обозначения её элементов также используется символ Кронекера [math]\displaystyle{ \delta_{ij} }[/math], определяемый как:

[math]\displaystyle{ \delta_{ii} = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \delta_{ij} = 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ i \neq j. }[/math]