ДМНК

Описание	ДМНК (аббревиатура от «Двухшаговый Метод Наименьших Квадратов») — это эконометрический метод оценивания параметров системы одновременных уравнений, когда обычный даёт смещённые оценки из-за эндогенности переменных
Область знаний	Статистика
Авторы
Поясняющее видео
Близкие понятия	Система эконометрических уравнений
Среды и средства для освоения понятия

ДМНК (аббревиатура от «Двухшаговый Метод Наименьших Квадратов») — это эконометрический метод оценивания параметров системы одновременных уравнений, когда обычный МНК даёт смещённые оценки из-за эндогенности переменных

Рассмотрим систему:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{\begin{cases} y_1(t) = \alpha_0 + \alpha_1 y_2(t) + \beta_1 x(t) + \varepsilon_1(t) \\ y_2(t) = \gamma_0 + \gamma_1 y_1(t) + \beta_2 x(t) + \varepsilon_2(t) \end{cases}} }[/math]

Здесь:

• [math]\displaystyle{ \displaystyle{y_1} }[/math] и [math]\displaystyle{ \displaystyle{y_2} }[/math] — эндогенные переменные (взаимно зависят друг от друга)
• [math]\displaystyle{ \displaystyle{x} }[/math] — экзогенная переменная (независимая)
• [math]\displaystyle{ \displaystyle{\alpha_1} }[/math] и [math]\displaystyle{ \displaystyle{\gamma_1} }[/math] — коэффициенты взаимного влияния

Если применить обычный МНК к первому уравнению:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{y_1 = \alpha_0 + \alpha_1 y_2 + \beta_1 x + \varepsilon_1} }[/math]

То [math]\displaystyle{ \displaystyle{y_2} }[/math] коррелирует с [math]\displaystyle{ \displaystyle{\varepsilon_1} }[/math] (ошибкой), потому что:

• [math]\displaystyle{ \displaystyle{y_2} }[/math] зависит от [math]\displaystyle{ \displaystyle{y_1} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \displaystyle{y_1} }[/math] содержит ошибку [math]\displaystyle{ \displaystyle{\varepsilon_1} }[/math]
• Поэтому [math]\displaystyle{ \displaystyle{\operatorname{E}[\varepsilon_1 | y_2] \neq 0} }[/math] — условие МНК нарушено!

Оценка будет смещённой и несостоятельной. Цель: заменить [math]\displaystyle{ \displaystyle{y_2} }[/math] на его предсказанное значение [math]\displaystyle{ \displaystyle{\hat{y}_2} }[/math], которое не коррелирует с ошибкой.

Запишем [math]\displaystyle{ \displaystyle{y_2} }[/math] как линейную комбинацию только экзогенных переменных:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{y_2 = \pi_0 + \pi_1 x + \pi_2 z + v} }[/math]

где:

• [math]\displaystyle{ \displaystyle{z} }[/math] — инструментальная переменная (переменная-инструмент)
• [math]\displaystyle{ \displaystyle{v} }[/math] — ошибка этого уравнения

На стадии 1: Применяем МНК к этому уравнению и получаем:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{\hat{y}_2 = \hat{\pi}_0 + \hat{\pi}_1 x + \hat{\pi}_2 z} }[/math]

Теперь заменяем [math]\displaystyle{ \displaystyle{y_2} }[/math] на [math]\displaystyle{ \displaystyle{\hat{y}_2} }[/math] в исходном уравнении:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{y_1 = \alpha_0 + \alpha_1 \hat{y}_2 + \beta_1 x + \varepsilon_1} }[/math]

Применяем МНК к этому модифицированному уравнению и получаем:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{\hat{\alpha}_1^{\text{2SLS}}, \hat{\beta}_1^{\text{2SLS}}, \ldots} }[/math]

Wealth Distribution (распределение богатства)

Скрытая система в модели

В модели Wealth Distribution есть скрытая система одновременных уравнений:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{\begin{cases} Y_i(t) = \alpha_0 + \alpha_1 v_i + u_i(t) & \text{(доход зависит от видимости)} \\ W_i(t+1) = W_i(t) + Y_i(t) - m_i & \text{(накопление)} \\ G(t) = f(W_1, W_2, \ldots, W_n) & \text{(Джини зависит от всех W)} \\ W_{\text{new}} \sim U(W_{\min}(t), W_{\max}(t)) & \text{(начальное богатство)} \end{cases}} }[/math]

Эндогенность

• Видимость [math]\displaystyle{ \displaystyle{v_i} }[/math] в первом поколении экзогенна (случайна)
• Но видимость второго поколения зависит от выживания первого поколения
• Выживание зависит от богатства [math]\displaystyle{ \displaystyle{W} }[/math]
• Богатство первого поколения содержит ошибку (везение) [math]\displaystyle{ \displaystyle{u} }[/math]
• Эндогенность формируется через селекцию!