У вас нет прав на выполнение действия «редактирование этой страницы» по следующей причине:
Текст:
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами. Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-м столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». == Системы линейных уравнений == : <math> \begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}</math>. Эта система состоит из <math>m</math> [[Линейное уравнение|линейных уравнений]] относительно <math>n</math> неизвестных. Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения : : <math>Ax = b</math>, где : <math>A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ; \quad x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ; \quad b = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}</math> Матрица <math>A</math> — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец <math>x</math> — вектор неизвестных, а вектор-столбец <math>b</math> — некоторый заданный вектор. == Обозначения == Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть : <math>A\colon M\times N\to\mathcal{K},</math> тогда <math>A</math> — матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля <math>\mathcal{K}</math> вида <math>a_{ij}=A(i,j)</math>, где * первый индекс означает индекс строки: <math>i=\overline{1,m}</math>; * второй индекс означает индекс столбца: <math>j=\overline{1,n}</math>; таким образом, <math>a_{ij}</math> — элемент матрицы <math>A</math>, находящийся на пересечении <math>i</math>-й строки и <math>j</math>-го столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера <math>m\times n</math>: : <math>A=(a_{ij})_{i=1,j=1}^{m,n},</math> или просто : <math>A=(a_{ij}),</math> если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы. <small>Иногда, вместо <math>a_{ij}</math>, пишут <math>a_{i,j}</math>, чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.</small> Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида : <math>\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix},\quad\left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right],\quad\left\|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right\|</math> <small>Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями «||…||»).</small> Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения: : <math>a_{i\cdot}=A_i=[ \begin{array}{ccccc} a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \end{array}]</math> — это <math>i</math>-я строка матрицы <math>A</math>, а : <math>a_{\cdot j}=A^j=\left[ \begin{array}{c} a_{1j}\\\vdots \\a_{ij} \\\vdots \\a_{mj} \\ \end{array}\right]</math> — это <math>j</math>-й столбец матрицы <math>A</math>. Таким образом, матрица обладает двойственным представлением — по строкам: : <math>A=[ \begin{array}{ccccc} A^{1} & \cdots & A^{j} & \cdots & A^{n} \\ \end{array}]</math> и по столбцам: : <math>A=\left[ \begin{array}{c} A_{1}\\\vdots \\A_{i} \\\vdots \\A_{m} \\ \end{array}\right]</math>. Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов. === Транспонированная матрица === Для каждой матрицы <math>A=(a_{i,j})_{\begin{smallmatrix} i=\overline{1,m} \\ j=\overline{1,n} \end{smallmatrix}}= \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}</math> размера <math>m\times n</math> можно построить матрицу <math>B=(b_{j,i})_{\begin{smallmatrix} j=\overline{1,n} \\ i=\overline{1,m} \end{smallmatrix}}= \begin{pmatrix} b_{1,1} & \cdots & b_{1,m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,1} & \cdots & b_{n,m} \end{pmatrix}</math> размера <math>n\times m</math>, у которой <math>b_{j,i}=a_{i,j}</math> для всех <math>i=\overline{1,m}</math> и <math>j=\overline{1,n}</math>. Такая матрица называется '''[[Транспонированная матрица|транспонированной матрицей]]''' для <math>A</math> и обозначается <math>A^{T}</math>, иногда (если нет возможности спутать с [[Производная функции|дифференцирование]]м) обозначается <math>A'</math>, иногда (если нет возможности спутать с [[эрмитово сопряжение|эрмитовым сопряжением]]) обозначается <math>A^{*}</math>. При транспонировании строки (столбцы) матрицы <math>A</math> становятся столбцами (соответственно - строками) матрицы <math>A^{T} </math>. Очевидно, <math>(A^{T})^{T}=A </math>. === Единичная матрица === [[Единичная матрица]] — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами: : <math>\mathrm{diag}(1, 1, \dots, 1).</math> Для её обозначения чаще всего используется обозначение ''I'' или ''E'', а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом). Для обозначения её элементов также используется [[символ Кронекера]] <math>\delta_{ij}</math>, определяемый как: : <math>\delta_{ii} = 1</math> : <math>\delta_{ij} = 0</math> при <math>i \neq j.</math>
Записать страницу Отменить
