Матрица

Описание	Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
Область знаний	NetSci, Математика
Авторы
Поясняющее видео
Близкие понятия
Среды и средства для освоения понятия

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами. Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-м столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса».

Системы линейных уравнений

[math]\displaystyle{ \begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} }[/math].

Эта система состоит из [math]\displaystyle{ m }[/math] линейных уравнений относительно [math]\displaystyle{ n }[/math] неизвестных. Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения :

[math]\displaystyle{ Ax = b }[/math],

где

[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ; \quad x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ; \quad b = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix} }[/math]

Матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец [math]\displaystyle{ x }[/math] — вектор неизвестных, а вектор-столбец [math]\displaystyle{ b }[/math] — некоторый заданный вектор.

Обозначения

Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть

[math]\displaystyle{ A\colon M\times N\to\mathcal{K}, }[/math]

тогда [math]\displaystyle{ A }[/math] — матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля [math]\displaystyle{ \mathcal{K} }[/math] вида [math]\displaystyle{ a_{ij}=A(i,j) }[/math], где

• первый индекс означает индекс строки: [math]\displaystyle{ i=\overline{1,m} }[/math];
• второй индекс означает индекс столбца: [math]\displaystyle{ j=\overline{1,n} }[/math];

таким образом, [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] — элемент матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], находящийся на пересечении [math]\displaystyle{ i }[/math]-й строки и [math]\displaystyle{ j }[/math]-го столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера [math]\displaystyle{ m\times n }[/math]:

[math]\displaystyle{ A=(a_{ij})_{i=1,j=1}^{m,n}, }[/math]

или просто

[math]\displaystyle{ A=(a_{ij}), }[/math]

если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы.

Иногда, вместо [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math], пишут [math]\displaystyle{ a_{i,j} }[/math], чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел.

Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix},\quad\left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right],\quad\left\|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right\| }[/math]

Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями «||…||»).

Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:

[math]\displaystyle{ a_{i\cdot}=A_i=[ \begin{array}{ccccc} a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \end{array}] }[/math] — это [math]\displaystyle{ i }[/math]-я строка матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math],

а

[math]\displaystyle{ a_{\cdot j}=A^j=\left[ \begin{array}{c} a_{1j}\\\vdots \\a_{ij} \\\vdots \\a_{mj} \\ \end{array}\right] }[/math] — это [math]\displaystyle{ j }[/math]-й столбец матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].

Таким образом, матрица обладает двойственным представлением — по строкам:

[math]\displaystyle{ A=[ \begin{array}{ccccc} A^{1} & \cdots & A^{j} & \cdots & A^{n} \\ \end{array}] }[/math]

и по столбцам:

[math]\displaystyle{ A=\left[ \begin{array}{c} A_{1}\\\vdots \\A_{i} \\\vdots \\A_{m} \\ \end{array}\right] }[/math].

Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов.

Транспонированная матрица

Шаблон:Main Для каждой матрицы [math]\displaystyle{ A=(a_{i,j})_{\begin{smallmatrix} i=\overline{1,m} \\ j=\overline{1,n} \end{smallmatrix}}= \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix} }[/math] размера [math]\displaystyle{ m\times n }[/math]

можно построить матрицу [math]\displaystyle{ B=(b_{j,i})_{\begin{smallmatrix} j=\overline{1,n} \\ i=\overline{1,m} \end{smallmatrix}}= \begin{pmatrix} b_{1,1} & \cdots & b_{1,m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,1} & \cdots & b_{n,m} \end{pmatrix} }[/math] размера [math]\displaystyle{ n\times m }[/math],

у которой [math]\displaystyle{ b_{j,i}=a_{i,j} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ i=\overline{1,m} }[/math] и [math]\displaystyle{ j=\overline{1,n} }[/math].

Такая матрица называется транспонированной матрицей для [math]\displaystyle{ A }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ A^{T} }[/math],

иногда (если нет возможности спутать с дифференцированием) обозначается [math]\displaystyle{ A' }[/math],

иногда (если нет возможности спутать с эрмитовым сопряжением) обозначается [math]\displaystyle{ A^{*} }[/math].

При транспонировании строки (столбцы) матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] становятся столбцами (соответственно - строками) матрицы [math]\displaystyle{ A^{T} }[/math].

Очевидно, [math]\displaystyle{ (A^{T})^{T}=A }[/math].

Для матриц над кольцом [math]\displaystyle{ \mathcal{K} }[/math] транспонирование является изоморфизмом [math]\displaystyle{ \mathcal{K} }[/math] - модулей матриц, поскольку

[math]\displaystyle{ (A+B)^T=A^T+B^T }[/math],

[math]\displaystyle{ (\lambda \cdot A)^T=\lambda \cdot (A^T) }[/math], для любых [math]\displaystyle{ \lambda \in \mathcal{K} }[/math].

Диагональная матрица

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных — нулевые [math]\displaystyle{ (i \neq j: a_{ij} = 0) }[/math], иногда записывается как:

[math]\displaystyle{ \mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n). }[/math]

Другие диагонали матрицы

Кроме главной диагонали иногда рассматриваются элементы матрицы, стоящие непосредственно над диагональными элементами. Эти элементы образуют наддиагональ матрицы. Элементы, расположенные непосредственно под диагональю образуют поддиагональ матрицы (см. Бидиагональная матрица).

Элементы, расположенные на местах [math]\displaystyle{ a_{1,n},a_{2,n-1},\dots,a_{n,1} }[/math] образуют побочную диагональ (см., например, Побочная диагональ или Виды матриц).

Единичная матрица

Единичная матрица — матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:

[math]\displaystyle{ \mathrm{diag}(1, 1, \dots, 1). }[/math]

Для её обозначения чаще всего используется обозначение I или E, а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом).

Для обозначения её элементов также используется символ Кронекера [math]\displaystyle{ \delta_{ij} }[/math], определяемый как:

[math]\displaystyle{ \delta_{ii} = 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \delta_{ij} = 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ i \neq j. }[/math]

Нулевая матрица

Для обозначения нулевой матрицы — матрицы, все элементы которой нули (при сложении её с любой матрицей та остается неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица) — используется обычно просто 0 или 0 специальным шрифтом, или буква, начертанием похожая на ноль, например [math]\displaystyle{ O }[/math] или [math]\displaystyle{ \Theta }[/math].