Поиск в ширину

Поиск в ширину (BFS) — один из методов обхода графа. Пусть задан граф [math]\displaystyle{ G = (V, E) }[/math] и выделена исходная вершина [math]\displaystyle{ s }[/math]. Алгоритм поиска в ширину систематически обходит все ребра [math]\displaystyle{ G }[/math] для «открытия» всех вершин, достижимых из [math]\displaystyle{ s }[/math], вычисляя при этом расстояние (минимальное количество рёбер) от [math]\displaystyle{ s }[/math] до каждой достижимой из [math]\displaystyle{ s }[/math] вершины. Поиск в ширину имеет такое название потому, что в процессе обхода мы идём вширь, то есть перед тем как приступить к поиску вершин на расстоянии [math]\displaystyle{ k + 1 }[/math], выполняется обход вершин на расстоянии [math]\displaystyle{ k }[/math].

Поиск в ширину является одним из неинформированных алгоритмов поиска<ref name="emaxx" />.

Работа алгоритма

Поиск в ширину работает путём последовательного просмотра отдельных уровней графа, начиная с узла-источника [math]\displaystyle{ u }[/math].

Рассмотрим все рёбра [math]\displaystyle{ (u,v) }[/math], выходящие из узла [math]\displaystyle{ u }[/math]. Если очередной узел [math]\displaystyle{ v }[/math] является целевым узлом, то поиск завершается; в противном случае узел [math]\displaystyle{ v }[/math] добавляется в очередь. После того, как будут проверены все рёбра, выходящие из узла [math]\displaystyle{ u }[/math], из очереди извлекается следующий узел [math]\displaystyle{ u }[/math], и процесс повторяется.

Неформальное описание

1. Поместить узел, с которого начинается поиск, в изначально пустую очередь.
2. Извлечь из начала очереди узел [math]\displaystyle{ u }[/math] и пометить его как развёрнутый.
   • Если узел [math]\displaystyle{ u }[/math] является целевым узлом, то завершить поиск с результатом «успех».
   • В противном случае, в конец очереди добавляются все преемники узла [math]\displaystyle{ u }[/math], которые ещё не развёрнуты и не находятся в очереди.
3. Если очередь пуста, то все узлы связного графа были просмотрены, следовательно, целевой узел недостижим из начального; завершить поиск с результатом «неудача».
4. Вернуться к п. 2.

Примечание: деление вершин на развёрнутые и не развёрнутые необходимо для произвольного графа (так как в нём могут быть циклы). Для дерева эта операция не нужна, так как каждая вершина будет выбрана один-единственный раз.

Формальное описание

Ниже приведён псевдокод алгоритма для случая, когда необходимо лишь найти целевой узел. В зависимости от конкретного применения алгоритма, может потребоваться дополнительный код, обеспечивающий сохранение нужной информации (расстояние от начального узла, узел-родитель и т. п.)

Рекурсивная формулировка:

BFS(start_node, goal_node) {
  return BFS'({start_node}, ∅, goal_node);
}
BFS'(fringe, visited, goal_node) {
  if(fringe == ∅) {
    // Целевой узел не найден
    return false; 
  }
  if (goal_node ∈ fringe) {
    return true;
  }
  return BFS'({child | x ∈ fringe, child ∈ expand(x)} \ visited, visited ∪ fringe, goal_node);
}

Итеративная формулировка:

BFS(start_node, goal_node) {
 for(all nodes i) visited[i] = false; // изначально список посещённых узлов пуст
 queue.push(start_node);              // начиная с узла-источника
 visited[start_node] = true;
 while(! queue.empty() ) {            // пока очередь не пуста
  node = queue.pop();                 // извлечь первый элемент в очереди
  if(node == goal_node) {
   return true;                       // проверить, не является ли текущий узел целевым
  }
  foreach(child in expand(node)) {    // все преемники текущего узла, ...
   if(visited[child] == false) {      // ... которые ещё не были посещены ...
    queue.push(child);                // ... добавить в конец очереди...
    visited[child] = true;            // ... и пометить как посещённые
   }
  }
 }
 return false;                        // Целевой узел недостижим
}

Реализация на Pascal:

function BFS(v : Node) : Boolean;
begin
  enqueue(v);
  while queue is not empty do
  begin
    curr := dequeue();
    if is_goal(curr) then
    begin
      BFS := true;
      exit;
    end;
    mark(curr);
    for next in successors(curr) do
      if not marked(next) then
      begin
        enqueue(next);
      end;
  end;
  BFS := false;
end;

Свойства

Обозначим число вершин и рёбер в графе как [math]\displaystyle{ \vert V \vert }[/math] и [math]\displaystyle{ \vert E \vert }[/math] соответственно.

Пространственная сложность

Так как в памяти хранятся все развёрнутые узлы, пространственная сложность алгоритма составляет [math]\displaystyle{ O(\vert V \vert + \vert E \vert) }[/math]<ref name="emaxx" />.

Алгоритм поиска с итеративным углублением похож на поиск в ширину тем, что при каждой итерации перед переходом на следующий уровень исследуется полный уровень новых узлов, но требует значительно меньше памяти.

Временная сложность

Так как в худшем случае алгоритм посещает все узлы графа, при хранении графа в виде списков смежности, временная сложность алгоритма составляет [math]\displaystyle{ O(\vert V \vert + \vert E \vert) }[/math]<ref name="emaxx" /><ref name="nstu" />.

Полнота

Если у каждого узла имеется конечное число преемников, алгоритм является полным: если решение существует, алгоритм поиска в ширину его находит, независимо от того, является ли граф конечным. Однако если решения не существует, на бесконечном графе поиск не завершается.

Оптимальность

Если длины рёбер графа равны между собой, поиск в ширину является оптимальным, то есть всегда находит кратчайший путь. В случае взвешенного графа поиск в ширину находит путь, содержащий минимальное количество рёбер, но не обязательно кратчайший.

Поиск по критерию стоимости является обобщением поиска в ширину и оптимален на взвешенном графе с неотрицательными весами рёбер. Алгоритм посещает узлы графа в порядке возрастания стоимости пути из начального узла и обычно использует очередь с приоритетами.