Матрица: различия между версиями
Patarakin (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{Понятие}} : <math> \begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}</math>.») |
Patarakin (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Понятие}} | {{Понятие | ||
|Description=Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими. | |||
|Field_of_knowledge=NetSci, Математика | |||
}} | |||
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами. Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-м столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». | |||
== Системы линейных уравнений == | |||
: <math> | : <math> | ||
\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 | \begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 | ||
Строка 6: | Строка 13: | ||
\\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m | \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m | ||
\end{cases}</math>. | \end{cases}</math>. | ||
Эта система состоит из <math>m</math> [[Линейное уравнение|линейных уравнений]] относительно <math>n</math> неизвестных. Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения : | |||
: <math>Ax = b</math>, | |||
где | |||
: <math>A = | |||
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} | |||
\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} | |||
\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots | |||
\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} | |||
\end{pmatrix} ; | |||
\quad x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ | |||
x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ; | |||
\quad b = \begin{pmatrix} b_{1} \\ | |||
b_{2} \\ | |||
\vdots \\ | |||
b_{m} \end{pmatrix}</math> | |||
Матрица <math>A</math> — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец <math>x</math> — вектор неизвестных, а вектор-столбец <math>b</math> — некоторый заданный вектор. |
Версия 12:47, 4 февраля 2023
Описание | Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими. |
---|---|
Область знаний | NetSci, Математика |
Авторы | |
Поясняющее видео | |
Близкие понятия | |
Среды и средства для освоения понятия |
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами. Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Также волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-м столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса».
Системы линейных уравнений
- [math]\displaystyle{ \begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} }[/math].
Эта система состоит из [math]\displaystyle{ m }[/math] линейных уравнений относительно [math]\displaystyle{ n }[/math] неизвестных. Она может быть записана в виде следующего матричного уравнения :
- [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math],
где
- [math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ; \quad x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ; \quad b = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix} }[/math]
Матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец [math]\displaystyle{ x }[/math] — вектор неизвестных, а вектор-столбец [math]\displaystyle{ b }[/math] — некоторый заданный вектор.