Метод золотого сечения

Материал из Поле цифровой дидактики
Версия от 11:24, 5 апреля 2022; 195.209.246.233 (обсуждение) (отмена правки 121188024 участника 176.193.252.92 (обс.))
(разн.) ← Предыдущая версия | Текущая версия (разн.) | Следующая версия → (разн.)

Метод золотого сечения — метод поиска экстремума действительной функции одной переменной на заданном отрезке. В основе метода лежит принцип деления отрезка в пропорциях золотого сечения. Является одним из простейших вычислительных методов решения задач оптимизации. Впервые представлен Джеком Кифером в 1953 году.

Описание метода

Пусть задана функция [math]\displaystyle{ f(x):\;[a,\;b]\to\mathbb{R},\;f(x)\in\mathrm{C}([a,\;b]) }[/math]. Тогда для того, чтобы найти неопределённое значение этой функции на заданном отрезке, отвечающее критерию поиска (пусть это будет минимум), рассматриваемый отрезок делится в пропорции золотого сечения в обоих направлениях, то есть выбираются две точки [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] такие, что:

Файл:Golden-section search.png
Иллюстрация выбора промежуточных точек метода золотого сечения.
[math]\displaystyle{ \frac{b-a}{b-x_1}=\frac{b-a}{x_2-a}=\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618\ldots }[/math], где [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] — пропорция золотого сечения.

Таким образом:

[math]\displaystyle{ \begin{array}{ccc} x_1 &=& b-\frac{(b-a)}{\Phi}\\ x_2 &=& a+\frac{(b-a)}{\Phi} \end{array} }[/math]

То есть точка [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] делит отрезок [math]\displaystyle{ [a,\;x_2] }[/math] в отношении золотого сечения. Аналогично [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] делит отрезок [math]\displaystyle{ [x_1,\;b] }[/math] в той же пропорции. Это свойство и используется для построения итеративного процесса.

Алгоритм

  1. На первой итерации заданный отрезок делится двумя симметричными относительно его центра точками и рассчитываются значения в этих точках.
  2. После чего тот из концов отрезка, к которому среди двух вновь поставленных точек ближе оказалась та, значение в которой максимально (для случая поиска минимума), отбрасывают.
  3. На следующей итерации в силу показанного выше свойства золотого сечения уже надо искать всего одну новую точку.
  4. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

Формализация

  1. Шаг 1. Задаются начальные границы отрезка [math]\displaystyle{ a,\;b }[/math] и точность [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math].
  2. Шаг 2. Рассчитывают начальные точки деления: [math]\displaystyle{ x_1 = b-\frac{(b-a)}{\Phi},\quad x_2 = a+\frac{(b-a)}{\Phi} }[/math] и значения в них целевой функции: [math]\displaystyle{ y_1=f(x_1),\;y_2=f(x_2) }[/math].
    • Если [math]\displaystyle{ y_1 \ge y_2 }[/math] (для поиска max изменить неравенство на [math]\displaystyle{ y_1 \le y_2 }[/math]), то [math]\displaystyle{ a=x_1 }[/math]
    • Иначе [math]\displaystyle{ b=x_2 }[/math].
  3. Шаг 3.
    • Если [math]\displaystyle{ |b-a|\lt \varepsilon }[/math], то [math]\displaystyle{ x=\frac{a+b}{2} }[/math] и останов.
    • Иначе возврат к шагу 2.

Алгоритм взят из книги Мэтьюза и Финка «Численные методы. Использование MATLAB».

Реализация данного алгоритма на языке F#, в которой значения целевой функции используются повторно:

let phi = 0.5 * (1.0 + sqrt 5.0)
let minimize f eps a b = 
    let rec min_rec f eps a b fx1 fx2 = 
        if b - a < eps then 
            0.5 * (a + b)
        else 
            let t = (b - a) / phi
            let x1, x2 = b - t, a + t
            let fx1 = match fx1 with Some v -> v | None -> f x1
            let fx2 = match fx2 with Some v -> v | None -> f x2
            if fx1 >= fx2 then
                min_rec f eps x1 b (Some fx2) None
            else
                min_rec f eps a x2 None (Some fx1)
    min_rec f eps (min a b) (max a b) None None

// Примеры вызова:
minimize cos 1e-6 0.0 6.28 |> printfn "%.10g"
// = 3.141592794; функция f вызвана 34 раза.
minimize (fun x -> (x - 1.0)**2.0) 1e-6 0.0 10.0 |> printfn "%.10g"
// = 1.000000145; функция f вызвана 35 раз.

Метод чисел Фибоначчи

В силу того, что в асимптотике [math]\displaystyle{ \Phi=\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}} }[/math], метод золотого сечения может быть трансформирован в так называемый метод чисел Фибоначчи. Однако при этом в силу свойств чисел Фибоначчи количество итераций строго ограничено. Это удобно, если сразу задано количество возможных обращений к функции.

Алгоритм

  1. Шаг 1. Задаются начальные границы отрезка [math]\displaystyle{ a,\;b }[/math] и число итераций [math]\displaystyle{ n }[/math], рассчитывают начальные точки деления: [math]\displaystyle{ x_1 = a+(b-a)\frac{F_{n-2}}{F_n},\quad x_2 = a+(b-a)\frac{F_{n-1}}{F_n} }[/math] и значения в них целевой функции: [math]\displaystyle{ y_1=f(x_1),\;y_2=f(x_2) }[/math].
  2. Шаг 2. [math]\displaystyle{ n=n-1 }[/math].
    • Если [math]\displaystyle{ y_1\gt y_2 }[/math], то [math]\displaystyle{ a=x_1,\; x_1=x_2,\; x_2=b-(x_1-a),\;y_1=y_2,\;y_2=f(x_2) }[/math].
    • Иначе [math]\displaystyle{ b=x_2,\;x_2=x_1,\;x_1=a+(b-x_2),\;y_2=y_1,\;y_1=f(x_1) }[/math].
  3. Шаг 3.
    • Если [math]\displaystyle{ n=1 }[/math], то [math]\displaystyle{ x=\frac{x_1+x_2}{2} }[/math] и остановка.
    • Иначе возврат к шагу 2.

Литература

  1. {{#if:Акулич И. Л.|Акулич И. Л. }}{{#if: |{{#if: |[{{{ссылка часть}}} {{{часть}}}]| {{{часть}}}}} // }}{{#if:|[[:s:{{{викитека}}}|Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов]]|{{#if:|[ Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов]|Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов}}}}{{#if:| = }}{{#if:| / {{{ответственный}}}.|{{#if:||.}}}}{{#if:Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов|{{#if:| {{#if:| = {{{оригинал2}}} }}{{#if:| / {{{ответственный2}}}.|{{#if:||.}}}}}}}}{{#if:| — .}}{{#switch:{{#if:М.|м}}{{#if:Высш. шк.|и}}{{#if:1986|г}}
 |миг= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}: Высш. шк., 1986.
 |ми= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}: Высш. шк..
 |мг= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}, 1986.
 |иг= — Высш. шк., 1986.
 |м= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М..}} }}
 |и= — Высш. шк..
 |г= — 1986.

}}{{#if:| — {{{том как есть}}}.}}{{#if:| — Т. {{{том}}}.}}{{#if:| — Vol. {{{volume}}}.}}{{#if:| — B. {{{band}}}.}}{{#if:| — {{{страницы как есть}}}.}}{{#if:| — С. .}}{{#if:| — {{{страниц как есть}}}.}}{{#if:| — {{{страниц}}} с.}}{{#if:| — P. {{{pages}}}.}}{{#if:| — S. {{{seite}}}.}}{{#if:| —  p.}}{{#if:| —  s.}}{{#if:| — ({{{серия}}}).}}{{#if:| — Шаблон:Nobr}}{{#if:| — ISBN }}

  1. {{#if:Гилл Ф., Мюррей У., Райт М.|Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. }}{{#if: |{{#if: |[{{{ссылка часть}}} {{{часть}}}]| {{{часть}}}}} // }}{{#if:|[[:s:{{{викитека}}}|Практическая оптимизация. Пер. с англ]]|{{#if:|[ Практическая оптимизация. Пер. с англ]|Практическая оптимизация. Пер. с англ}}}}{{#if:| = }}{{#if:| / {{{ответственный}}}.|{{#if:||.}}}}{{#if:Практическая оптимизация. Пер. с англ|{{#if:| {{#if:| = {{{оригинал2}}} }}{{#if:| / {{{ответственный2}}}.|{{#if:||.}}}}}}}}{{#if:| — .}}{{#switch:{{#if:М.|м}}{{#if:Мир|и}}{{#if:1985|г}}
 |миг= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}: Мир, 1985.
 |ми= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}: Мир.
 |мг= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}, 1985.
 |иг= — Мир, 1985.
 |м= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М..}} }}
 |и= — Мир.
 |г= — 1985.

}}{{#if:| — {{{том как есть}}}.}}{{#if:| — Т. {{{том}}}.}}{{#if:| — Vol. {{{volume}}}.}}{{#if:| — B. {{{band}}}.}}{{#if:| — {{{страницы как есть}}}.}}{{#if:| — С. .}}{{#if:| — {{{страниц как есть}}}.}}{{#if:| — {{{страниц}}} с.}}{{#if:| — P. {{{pages}}}.}}{{#if:| — S. {{{seite}}}.}}{{#if:| —  p.}}{{#if:| —  s.}}{{#if:| — ({{{серия}}}).}}{{#if:| — Шаблон:Nobr}}{{#if:| — ISBN }}

  1. {{#if:Коршунов Ю. М.|Коршунов Ю. М. }}{{#if: |{{#if: |[{{{ссылка часть}}} {{{часть}}}]| {{{часть}}}}} // }}{{#if:|[[:s:{{{викитека}}}|Математические основы кибернетики]]|{{#if:|[ Математические основы кибернетики]|Математические основы кибернетики}}}}{{#if:| = }}{{#if:| / {{{ответственный}}}.|{{#if:||.}}}}{{#if:Математические основы кибернетики|{{#if:| {{#if:| = {{{оригинал2}}} }}{{#if:| / {{{ответственный2}}}.|{{#if:||.}}}}}}}}{{#if:| — .}}{{#switch:{{#if:М.|м}}{{#if:Энергоатомиздат|и}}{{#if:1972|г}}
 |миг= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}: Энергоатомиздат, 1972.
 |ми= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}: Энергоатомиздат.
 |мг= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}, 1972.
 |иг= — Энергоатомиздат, 1972.
 |м= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М..}} }}
 |и= — Энергоатомиздат.
 |г= — 1972.

}}{{#if:| — {{{том как есть}}}.}}{{#if:| — Т. {{{том}}}.}}{{#if:| — Vol. {{{volume}}}.}}{{#if:| — B. {{{band}}}.}}{{#if:| — {{{страницы как есть}}}.}}{{#if:| — С. .}}{{#if:| — {{{страниц как есть}}}.}}{{#if:| — {{{страниц}}} с.}}{{#if:| — P. {{{pages}}}.}}{{#if:| — S. {{{seite}}}.}}{{#if:| —  p.}}{{#if:| —  s.}}{{#if:| — ({{{серия}}}).}}{{#if:| — Шаблон:Nobr}}{{#if:| — ISBN }}

  1. {{#if:Максимов Ю. А., Филлиповская Е. А.|Максимов Ю. А., Филлиповская Е. А. }}{{#if: |{{#if: |[{{{ссылка часть}}} {{{часть}}}]| {{{часть}}}}} // }}{{#if:|[[:s:{{{викитека}}}|Алгоритмы решения задач нелинейного программирования]]|{{#if:|[ Алгоритмы решения задач нелинейного программирования]|Алгоритмы решения задач нелинейного программирования}}}}{{#if:| = }}{{#if:| / {{{ответственный}}}.|{{#if:||.}}}}{{#if:Алгоритмы решения задач нелинейного программирования|{{#if:| {{#if:| = {{{оригинал2}}} }}{{#if:| / {{{ответственный2}}}.|{{#if:||.}}}}}}}}{{#if:| — .}}{{#switch:{{#if:М.|м}}{{#if:МИФИ|и}}{{#if:1982|г}}
 |миг= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}: МИФИ, 1982.
 |ми= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}: МИФИ.
 |мг= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}, 1982.
 |иг= — МИФИ, 1982.
 |м= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М..}} }}
 |и= — МИФИ.
 |г= — 1982.

}}{{#if:| — {{{том как есть}}}.}}{{#if:| — Т. {{{том}}}.}}{{#if:| — Vol. {{{volume}}}.}}{{#if:| — B. {{{band}}}.}}{{#if:| — {{{страницы как есть}}}.}}{{#if:| — С. .}}{{#if:| — {{{страниц как есть}}}.}}{{#if:| — {{{страниц}}} с.}}{{#if:| — P. {{{pages}}}.}}{{#if:| — S. {{{seite}}}.}}{{#if:| —  p.}}{{#if:| —  s.}}{{#if:| — ({{{серия}}}).}}{{#if:| — Шаблон:Nobr}}{{#if:| — ISBN }}

  1. {{#if:Максимов Ю. А.|Максимов Ю. А. }}{{#if: |{{#if: |[{{{ссылка часть}}} {{{часть}}}]| {{{часть}}}}} // }}{{#if:|[[:s:{{{викитека}}}|Алгоритмы линейного и дискретного программирования]]|{{#if:|[ Алгоритмы линейного и дискретного программирования]|Алгоритмы линейного и дискретного программирования}}}}{{#if:| = }}{{#if:| / {{{ответственный}}}.|{{#if:||.}}}}{{#if:Алгоритмы линейного и дискретного программирования|{{#if:| {{#if:| = {{{оригинал2}}} }}{{#if:| / {{{ответственный2}}}.|{{#if:||.}}}}}}}}{{#if:| — .}}{{#switch:{{#if:М.|м}}{{#if:МИФИ|и}}{{#if:1980|г}}
 |миг= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}: МИФИ, 1980.
 |ми= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}: МИФИ.
 |мг= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}, 1980.
 |иг= — МИФИ, 1980.
 |м= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М..}} }}
 |и= — МИФИ.
 |г= — 1980.

}}{{#if:| — {{{том как есть}}}.}}{{#if:| — Т. {{{том}}}.}}{{#if:| — Vol. {{{volume}}}.}}{{#if:| — B. {{{band}}}.}}{{#if:| — {{{страницы как есть}}}.}}{{#if:| — С. .}}{{#if:| — {{{страниц как есть}}}.}}{{#if:| — {{{страниц}}} с.}}{{#if:| — P. {{{pages}}}.}}{{#if:| — S. {{{seite}}}.}}{{#if:| —  p.}}{{#if:| —  s.}}{{#if:| — ({{{серия}}}).}}{{#if:| — Шаблон:Nobr}}{{#if:| — ISBN }}

  1. {{#if:Корн Г., Корн Т.|Корн Г., Корн Т. }}{{#if: |{{#if: |[{{{ссылка часть}}} {{{часть}}}]| {{{часть}}}}} // }}{{#if:|[[:s:{{{викитека}}}|Справочник по математике для научных работников и инженеров]]|{{#if:|[ Справочник по математике для научных работников и инженеров]|Справочник по математике для научных работников и инженеров}}}}{{#if:| = }}{{#if:| / {{{ответственный}}}.|{{#if:||.}}}}{{#if:Справочник по математике для научных работников и инженеров|{{#if:| {{#if:| = {{{оригинал2}}} }}{{#if:| / {{{ответственный2}}}.|{{#if:||.}}}}}}}}{{#if:| — .}}{{#switch:{{#if:М.|м}}{{#if:Наука|и}}{{#if:1970|г}}
 |миг= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}: Наука, 1970.
 |ми= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}: Наука.
 |мг= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}, 1970.
 |иг= — Наука, 1970.
 |м= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М..}} }}
 |и= — Наука.
 |г= — 1970.

}}{{#if:| — {{{том как есть}}}.}}{{#if:| — Т. {{{том}}}.}}{{#if:| — Vol. {{{volume}}}.}}{{#if:| — B. {{{band}}}.}}{{#if:| — {{{страницы как есть}}}.}}{{#if:575—576| — С. 575—576.}}{{#if:| — {{{страниц как есть}}}.}}{{#if:| — {{{страниц}}} с.}}{{#if:| — P. {{{pages}}}.}}{{#if:| — S. {{{seite}}}.}}{{#if:| —  p.}}{{#if:| —  s.}}{{#if:| — ({{{серия}}}).}}{{#if:| — Шаблон:Nobr}}{{#if:| — ISBN }}

  1. {{#if:Корн Г., Корн Т.|Корн Г., Корн Т. }}{{#if: |{{#if: |[{{{ссылка часть}}} ]| }} // }}{{#if:|[[:s:{{{викитека}}}|Справочник по математике для научных работников и инженеров]]|{{#if:http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu%7CСправочник по математике для научных работников и инженеров|Справочник по математике для научных работников и инженеров}}}}{{#if:| = {{{оригинал}}} }}{{#if:| / {{{ответственный}}}.|{{#if:||.}}}}{{#if:Справочник по математике для научных работников и инженеров|{{#if:| {{#if:| = {{{оригинал2}}} }}{{#if:| / {{{ответственный2}}}.|{{#if:||.}}}}}}}}{{#if:| — {{{издание}}}.}}{{#switch:{{#if:М.|м}}{{#if:Наука|и}}{{#if:1973|г}}
 |миг= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}: Наука, 1973.
 |ми= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}: Наука.
 |мг= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М.}} }}, 1973.
 |иг= — Наука, 1973.
 |м= — {{#if:М.|{{#switch:М.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=М.|М..}} }}
 |и= — Наука.
 |г= — 1973.

}}{{#if:| — {{{том как есть}}}.}}{{#if:| — Т. {{{том}}}.}}{{#if:| — Vol. {{{volume}}}.}}{{#if:| — B. {{{band}}}.}}{{#if:| — {{{страницы как есть}}}.}}{{#if:832 с илл.| — С. 832 с илл..}}{{#if:| — {{{страниц как есть}}}.}}{{#if:| — {{{страниц}}} с.}}{{#if:| — P. {{{pages}}}.}}{{#if:| — S. {{{seite}}}.}}{{#if:| —  p.}}{{#if:| —  s.}}{{#if:| — ({{{серия}}}).}}{{#if:| — Шаблон:Nobr}}{{#if:| — ISBN {{{isbn}}}}}

  1. {{#if:Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк.|Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк. }}{{#if: |{{#if: |[{{{ссылка часть}}} {{{часть}}}]| {{{часть}}}}} // }}{{#if:|[[:s:{{{викитека}}}|Численные методы. Использование MATLAB]]|{{#if:|[ Численные методы. Использование MATLAB]|Численные методы. Использование MATLAB}}}}{{#if:| = }}{{#if:| / {{{ответственный}}}.|{{#if:||.}}}}{{#if:Численные методы. Использование MATLAB|{{#if:| {{#if:| = {{{оригинал2}}} }}{{#if:| / {{{ответственный2}}}.|{{#if:||.}}}}}}}}{{#if:3-е издание| — 3-е издание.}}{{#switch:{{#if:М., СПб.|м}}{{#if:Вильямс|и}}{{#if:2001|г}}
 |миг= — {{#if:М., СПб.|{{#switch:М., СПб.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=Шаблон:М., СПб.|М., СПб.}} }}: Вильямс, 2001.
 |ми= — {{#if:М., СПб.|{{#switch:М., СПб.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=Шаблон:М., СПб.|М., СПб.}} }}: Вильямс.
 |мг= — {{#if:М., СПб.|{{#switch:М., СПб.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=Шаблон:М., СПб.|М., СПб.}} }}, 2001.
 |иг= — Вильямс, 2001.
 |м= — {{#if:М., СПб.|{{#switch:М., СПб.|L.|N. Y.|P.|Б.|Б. м.|Ер.|Иер.|К.|Каз.|Л.|М.|Мн.|Н. Н.|Н. Новгород|Пг.|Ростов н/Д|СПб.|Тб.|Тф.|Яр.=Шаблон:М., СПб.|М., СПб..}} }}
 |и= — Вильямс.
 |г= — 2001.

}}{{#if:| — {{{том как есть}}}.}}{{#if:| — Т. {{{том}}}.}}{{#if:| — Vol. {{{volume}}}.}}{{#if:| — B. {{{band}}}.}}{{#if:| — {{{страницы как есть}}}.}}{{#if:716| — С. 716.}}{{#if:| — {{{страниц как есть}}}.}}{{#if:| — {{{страниц}}} с.}}{{#if:| — P. {{{pages}}}.}}{{#if:| — S. {{{seite}}}.}}{{#if:| —  p.}}{{#if:| —  s.}}{{#if:| — ({{{серия}}}).}}{{#if:| — Шаблон:Nobr}}{{#if:| — ISBN }}

См. также

Шаблон:Методы оптимизацииШаблон:Золотое сечение

Источник — http://digida.mgpu.ru/index.php?title=Метод_золотого_сечения&oldid=4638