Обсуждение участника:Дамдинова Кристина

Краткое описание применения формул в статистике

Математические формулы являются основным инструментом для формального описания статистических характеристик выборки в MediaWiki. Они позволяют точно определять меры центральной тенденции, изменчивости, формы распределения и взаимосвязи между переменными.

Основные категории статистических формул включают описательную статистику, вероятностные распределения и методы статистического вывода.

Меры центральной тенденции

Выборочное среднее (среднее арифметическое)

[math]\displaystyle{ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i }[/math]

Медиана

[math]\displaystyle{ \text{Med} = \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & \text{если } n \text{ нечётное} \\ \frac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} & \text{если } n \text{ чётное} \end{cases} }[/math]

Мода (наиболее частое значение в выборке)

[math]\displaystyle{ \text{Mo} = \arg\max_{x} f(x) }[/math]

Меры изменчивости

Выборочная дисперсия (несмещённая оценка)

[math]\displaystyle{ s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 }[/math]

Стандартное отклонение

[math]\displaystyle{ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} }[/math]

Размах выборки

[math]\displaystyle{ R = x_{\max} - x_{\min} }[/math]

Межквартильный размах

[math]\displaystyle{ IQR = Q_3 - Q_1 }[/math]

Меры формы распределения

Коэффициент асимметрии (скошенности)

[math]\displaystyle{ \gamma_1 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^3}{s^3} }[/math]

Коэффициент эксцесса (островершинности)

[math]\displaystyle{ \gamma_2 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^4}{s^4} - 3 }[/math]

Меры взаимосвязи между переменными

Выборочная ковариация

[math]\displaystyle{ \text{Cov}(x,y) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) }[/math]

Коэффициент корреляции Пирсона

[math]\displaystyle{ r_{xy} = \frac{\text{Cov}(x,y)}{s_x s_y} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}} }[/math]

Вероятностные распределения

Нормальное распределение

[math]\displaystyle{ f(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} }[/math]

Экспоненциальное распределение

[math]\displaystyle{ f(x|\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 }[/math]

Распределение хи-квадрат с k степенями свободы

[math]\displaystyle{ f(x|k) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}e^{-x/2}, \quad x \gt 0 }[/math]

Статистический вывод

t-статистика для проверки гипотезы о среднем

[math]\displaystyle{ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} }[/math]

Доверительный интервал для среднего при неизвестной дисперсии

[math]\displaystyle{ \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} }[/math]

Статистика критерия хи-квадрат

[math]\displaystyle{ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} }[/math]

Индексы и коэффициенты неравенства

Коэффициент вариации

[math]\displaystyle{ CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\% }[/math]

Стандартная ошибка среднего

[math]\displaystyle{ SE_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} }[/math]

Примеры применения в статистическом анализе

Описательная статистика для выборки доходов

Для выборки доходов [math]\displaystyle{ \{x_1, x_2, ..., x_n\} }[/math] можно рассчитать:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \text{Средний доход} & = \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \\ \text{Медианный доход} & = \text{Med}(x) \\ \text{Дисперсия доходов} & = s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \\ \text{Коэффициент Джини} & = G = \frac{1}{2n^2\bar{x}}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}|x_i - x_j| \end{align*} }[/math]

Анализ взаимосвязи переменных

Для исследования связи между доходом ([math]\displaystyle{ X }[/math]) и потреблением ([math]\displaystyle{ Y }[/math]):

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \text{Ковариация} & = \text{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \\ \text{Коэффициент корреляции} & = r_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{s_X s_Y} \\ \text{Коэффициент детерминации} & = R^2 = r_{XY}^2 \end{align*} }[/math]

Статистический анализ в R

Функция для вычисления основных статистических характеристик

# Функция для вычисления основных статистик выборки
calculate_sample_statistics <- function(data_vector) {
  n <- length(data_vector)
  mean_val <- mean(data_vector, na.rm = TRUE)
  median_val <- median(data_vector, na.rm = TRUE)
  sd_val <- sd(data_vector, na.rm = TRUE)
  var_val <- var(data_vector, na.rm = TRUE)
  min_val <- min(data_vector, na.rm = TRUE)
  max_val <- max(data_vector, na.rm = TRUE)
  range_val <- max_val - min_val
  q1 <- quantile(data_vector, 0.25, na.rm = TRUE)
  q3 <- quantile(data_vector, 0.75, na.rm = TRUE)
  iqr_val <- IQR(data_vector, na.rm = TRUE)
  skewness_val <- moments::skewness(data_vector, na.rm = TRUE)
  kurtosis_val <- moments::kurtosis(data_vector, na.rm = TRUE)
  
  # Коэффициент вариации
  cv_val <- (sd_val / mean_val) * 100
  
  # Стандартная ошибка среднего
  se_mean <- sd_val / sqrt(n)
  
  list(
    n = n,
    mean = mean_val,
    median = median_val,
    sd = sd_val,
    variance = var_val,
    min = min_val,
    max = max_val,
    range = range_val,
    Q1 = q1,
    Q3 = q3,
    IQR = iqr_val,
    skewness = skewness_val,
    kurtosis = kurtosis_val,
    coefficient_of_variation = cv_val,
    standard_error_mean = se_mean
  )
}

# Пример использования функции
sample_data <- c(23, 45, 67, 34, 89, 56, 78, 41, 62, 55)
stats <- calculate_sample_statistics(sample_data)
print(stats)

Функция для вычисления корреляционной матрицы

# Функция для вычисления корреляционной матрицы с тестами значимости
calculate_correlation_matrix <- function(data_matrix) {
  # Матрица коэффициентов корреляции Пирсона
  cor_matrix <- cor(data_matrix, use = "complete.obs")
  
  # Матрица p-значений
  p_matrix <- matrix(0, nrow = ncol(data_matrix), ncol = ncol(data_matrix))
  colnames(p_matrix) <- colnames(data_matrix)
  rownames(p_matrix) <- colnames(data_matrix)
  
  # Вычисление p-значений для каждой пары переменных
  for (i in 1:(ncol(data_matrix)-1)) {
    for (j in (i+1):ncol(data_matrix)) {
      test_result <- cor.test(data_matrix[,i], data_matrix[,j])
      p_matrix[i,j] <- test_result$p.value
      p_matrix[j,i] <- test_result$p.value
    }
  }
  
  list(
    correlation_matrix = cor_matrix,
    p_values_matrix = p_matrix
  )
}