Участник:ZatsepinNA/Economy Task

Анализ использования математических формул в статье "Simple Economy" Краткое описание модели

Simple Economy представляет собой базовую модель экономического обмена. Модель иллюстрирует случайное блуждание богатства. Если [math]\displaystyle{ W_i(t) }[/math] — богатство агента [math]\displaystyle{ i }[/math] в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math], то:

[math]\displaystyle{ W_i(t+1) = W_i(t) + X_i(t) - Y_i(t) }[/math]

где [math]\displaystyle{ X_i(t) }[/math] — полученные деньги, [math]\displaystyle{ Y_i(t) }[/math] — отданные деньги.

1. Формирование экспоненциального распределения

После многих итераций распределение богатства приближается к экспоненциальному распределению:

[math]\displaystyle{ f(w) = \lambda e^{-\lambda w} \quad \text{где} \quad \lambda = 1/\bar{w} }[/math], а [math]\displaystyle{ \bar{w} }[/math] — среднее богатство.

• Параметры этого распределения:

- [math]\displaystyle{ M(W) = 1/\lambda }[/math] - [math]\displaystyle{ D(W) = 1/\lambda^2 }[/math] - [math]\displaystyle{ \sigma(W) = 1/\lambda }[/math]

1. Математическое описание модели

1. Основные параметры

Количество агентов: [math]\displaystyle{ N = 500 }[/math] агентов в системе Начальное богатство: [math]\displaystyle{ w_i(0) = 100 }[/math] долларов для каждого агента [math]\displaystyle{ i }[/math] Общее богатство системы: [math]\displaystyle{ W = N \times 100 = 50,000 }[/math] долларов (константа)

1. Правила обмена

На каждом временном шаге [math]\displaystyle{ t }[/math] для каждого агента [math]\displaystyle{ i }[/math]: [math]\displaystyle{ w_i(t + 1) = \begin{cases} w_i(t) - 1 + \delta_{i,j}(t) & \text{если } w_i(t) \gt 0 \\ w_i(t) + \delta_{i,j}(t) & \text{если } w_i(t) = 0 \end{cases} }[/math] где: - [math]\displaystyle{ w_i(t) }[/math] - богатство агента [math]\displaystyle{ i }[/math] в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math] - [math]\displaystyle{ \delta_{i,j}(t) }[/math] - индикаторная функция, равная 1, если агент [math]\displaystyle{ i }[/math] получает доллар от агента [math]\displaystyle{ j }[/math], и 0 в противном случае - [math]\displaystyle{ j }[/math] - случайно выбранный агент-отправитель

1. Основные переменные для анализа

• Индивидуальные характеристики агентов

- [math]\displaystyle{ w_i(t) }[/math] - богатство каждого агента в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math] - [math]\displaystyle{ x_i(t) }[/math] - позиция агента (равная его богатству) - [math]\displaystyle{ transfers\_sent_i(t) }[/math] - количество переводов, отправленных агентом - [math]\displaystyle{ transfers\_received_i(t) }[/math] - количество переводов, полученных агентом

• Агрегированные показатели

- [math]\displaystyle{ \bar{w}(t) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} w_i(t) }[/math] - средний уровень богатства - [math]\displaystyle{ \sigma_w^2(t) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (w_i(t) - \bar{w}(t))^2 }[/math] - дисперсия богатства - [math]\displaystyle{ w_{max}(t) = \max_i w_i(t) }[/math] - максимальное богатство - [math]\displaystyle{ w_{min}(t) = \min_i w_i(t) }[/math] - минимальное богатство

• Статистические меры неравенства

• Коэффициент Джини

[math]\displaystyle{ G(t) = \frac{1}{2N^2 \bar{w}(t)} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} |w_i(t) - w_j(t)| }[/math] Коэффициент Джини измеряет неравенство распределения богатства от 0 (полное равенство) до 1 (крайнее неравенство).

• Индекс Херфиндаля-Хиршмана для концентрации богатства

[math]\displaystyle{ HHI(t) = \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{w_i(t)}{W} \right)^2 }[/math]

• Энтропия распределения богатства

[math]\displaystyle{ S(t) = -\sum_{i=1}^{N} \frac{w_i(t)}{W} \ln \left( \frac{w_i(t)}{W} \right) }[/math]

• Процентильные характеристики

Доля богатства у топ-процентилей: [math]\displaystyle{ Top1\%(t) }[/math] - доля богатства у 1% самых богатых агентов [math]\displaystyle{ Top10\%(t) }[/math] - доля богатства у 10% самых богатых агентов [math]\displaystyle{ Bottom50\%(t) }[/math] - доля богатства у 50% самых бедных агентов

• Квантили распределения

[math]\displaystyle{ Q_p(t) = \inf\{w : F_w(w,t) \geq p\} }[/math] где [math]\displaystyle{ F_w(w,t) }[/math] - кумулятивная функция распределения богатства в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math].

• Динамические характеристики
• Мобильность богатства

[math]\displaystyle{ Mobility(t) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} |rank_i(t) - rank_i(0)| }[/math] где [math]\displaystyle{ rank_i(t) }[/math] - ранг агента [math]\displaystyle{ i }[/math] по богатству в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math].

• Корреляция богатства во времени

[math]\displaystyle{ \rho(t,s) = \frac{Cov(W(t), W(s))}{\sigma_W(t)\sigma_W(s)} }[/math]

• Распределения вероятностей

Модель демонстрирует эволюцию от равномерного к экспоненциальному распределению богатства:

• Стационарное распределение:

[math]\displaystyle{ P(w) = \frac{1}{\langle w \rangle} e^{-w/\langle w \rangle} }[/math] где [math]\displaystyle{ \langle w \rangle }[/math] - среднее богатство.

• Временные ряды для анализа
• Основные временные ряды

- [math]\displaystyle{ \{G(t)\}_{t=0}^T }[/math] - эволюция коэффициента Джини - [math]\displaystyle{ \{S(t)\}_{t=0}^T }[/math] - изменение энтропии системы - [math]\displaystyle{ \{\sigma_w^2(t)\}_{t=0}^T }[/math] - динамика дисперсии богатства - [math]\displaystyle{ \{Top10\%(t)\}_{t=0}^T }[/math] - концентрация богатства у элиты

• Статистический анализ в R
• Описательная статистика - основные статистики распределения богатства

```r summary_stats <- function(wealth_data) {

 list(
   mean = mean(wealth_data),
   median = median(wealth_data),
   sd = sd(wealth_data),
   gini = gini_coefficient(wealth_data),
   entropy = entropy(wealth_data)
 )

} ```