Участник:ZatsepinNA/Economy Task: различия между версиями

Материал из Поле цифровой дидактики
Новая страница: «Оформляю задание по анализу математических формул в статье "Simple Economy". Анализ использования математических формул в статье "Simple Economy" 1. Динамические уравнения модели ``` Динамика богатства Основное уравнение изменения богатства агента: W_i(t+1) = W_i(t) + X_i(t) -...»
 
м ZatsepinNA переименовал страницу Участник:ZatsepinNA в Участник:ZatsepinNA/Economy Task
 
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
Оформляю задание по анализу математических формул в статье "Simple Economy".
Анализ использования математических формул в статье "Simple Economy"
Анализ использования математических формул в статье "Simple Economy"
Краткое описание модели


1. Динамические уравнения модели
Simple Economy представляет собой базовую модель экономического обмена. Модель иллюстрирует случайное блуждание богатства. Если <math>W_i(t)</math> — богатство агента <math>i</math> в момент времени <math>t</math>, то:
```
Динамика богатства
Основное уравнение изменения богатства агента:
W_i(t+1) = W_i(t) + X_i(t) - Y_i(t)
 
Условия обмена:
w_i(t + 1) = {
    w_i(t) - 1 + δ_i,j(t) если w_i(t) > 0
    w_i(t) + δ_i,j(t) если w_i(t) = 0
}
 
 
### 2. **Статистические распределения**
```
== Распределение богатства ==
Экспоненциальное распределение в стационарном состоянии:
: f(w) = λe^(-λw) где λ = 1/w̄
 
Параметры распределения:
* Математическое ожидание: M(W) = 1/λ
* Дисперсия: D(W) = 1/λ²
* Стандартное отклонение: σ(W) = 1/λ
```
 
### 3. **Меры неравенства**
```
== Коэффициент Джини ==
: G(t) = (1/(2N²w̄(t))) ∑_i=1^N ∑_j=1^N |w_i(t) - w_j(t)|
 
== Индекс Херфиндаля-Хиршмана ==
: HHI(t) = ∑_i=1^N (w_i(t)/W)²
 
== Энтропия распределения ==
: S(t) = -∑_i=1^N (w_i(t)/W) ln(w_i(t)/W)
```


### 4. **Агрегированные показатели**
<math>W_i(t+1) = W_i(t) + X_i(t) - Y_i(t)</math>
```
== Основные статистики ==
Среднее богатство: w̄(t) = (1/N) ∑_i=1^N w_i(t)
Дисперсия: σ_w²(t) = (1/N) ∑_i=1^N (w_i(t) - w̄(t))²
Квантили: Q_p(t) = inf{w: F_w(w,t) ≥ p}
```


### 5. **Динамические характеристики**
где <math>X_i(t)</math> — полученные деньги, <math>Y_i(t)</math> — отданные деньги.
```
# Формирование экспоненциального распределения
== Мобильность и корреляция ==
Мобильность богатства:
: Mobility(t) = (1/N) ∑_i=1^N |rank_i(t) - rank_i(0)|


Автокорреляция:
После многих итераций распределение богатства приближается к экспоненциальному распределению:
: ρ(t,s) = Cov(W(t), W(s))/(σ_W(t)σ_W(s))
```


## Примеры оформления формул для MediaWiki
<math>f(w) = \lambda e^{-\lambda w} \quad \text{где} \quad \lambda = 1/\bar{w}</math>, а <math>\bar{w}</math> — среднее богатство.


### Описательные статистики
*Параметры этого распределения:
```
- <math>M(W) = 1/\lambda</math>
== Основные статистические показатели ==
- <math>D(W) = 1/\lambda^2</math> 
'''Среднее арифметическое:'''
- <math>\sigma(W) = 1/\lambda</math>
: x̄ = (1/n)∑_i=1^n x_i


'''Медиана:'''
#Математическое описание модели
: Med = { x_((n+1)/2) если n нечётно; (x_(n/2) + x_(n/2+1))/2 если n чётно }


'''Дисперсия:'''
#Основные параметры
: s² = (1/(n-1))∑_i=1^n (x_i - x̄)²
Количество агентов: <math>N = 500</math> агентов в системе
```
Начальное богатство: <math>w_i(0) = 100</math> долларов для каждого агента <math>i</math>
Общее богатство системы: <math>W = N \times 100 = 50,000</math> долларов (константа)


### Меры неравенства
#Правила обмена
```
На каждом временном шаге <math>t</math> для каждого агента <math>i</math>:
== Коэффициенты неравенства ==
<math>w_i(t + 1) = \begin{cases} w_i(t) - 1 + \delta_{i,j}(t) & \text{если } w_i(t) > 0 \\ w_i(t) + \delta_{i,j}(t) & \text{если } w_i(t) = 0 \end{cases}</math>
'''Коэффициент Джини:'''
где:
: G = (∑_i=1^n ∑_j=1^n |x_i - x_j|)/(2n²x̄)
- <math>w_i(t)</math> - богатство агента <math>i</math> в момент времени <math>t</math>
- <math>\delta_{i,j}(t)</math> - индикаторная функция, равная 1, если агент <math>i</math> получает доллар от агента <math>j</math>, и 0 в противном случае
- <math>j</math> - случайно выбранный агент-отправитель


'''Коэффициент вариации:'''
#Основные переменные для анализа
: CV = s/x̄
* Индивидуальные характеристики агентов
- <math>w_i(t)</math> - богатство каждого агента в момент времени <math>t</math>
- <math>x_i(t)</math> - позиция агента (равная его богатству)
- <math>transfers\_sent_i(t)</math> - количество переводов, отправленных агентом
- <math>transfers\_received_i(t)</math> - количество переводов, полученных агентом


'''Процентильные соотношения:'''
*Агрегированные показатели
: P_90/10 = Q_0.9/Q_0.1
- <math>\bar{w}(t) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} w_i(t)</math> - средний уровень богатства
: P_75/25 = Q_0.75/Q_0.25
- <math>\sigma_w^2(t) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (w_i(t) - \bar{w}(t))^2</math> - дисперсия богатства
```
- <math>w_{max}(t) = \max_i w_i(t)</math> - максимальное богатство
- <math>w_{min}(t) = \min_i w_i(t)</math> - минимальное богатство


### Временные ряды
*Статистические меры неравенства
```
== Анализ динамики
'''Скользящее среднее:'''
MA_t(k) = (1/k)∑_i=0^(k-1) x_(t-i)


'''Автокорреляция:'''
*Коэффициент Джини
: ρ(τ) = Cov(x_t, x_(t-τ))/(σ_x_t σ_x_(t-τ))
<math>G(t) = \frac{1}{2N^2 \bar{w}(t)} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} |w_i(t) - w_j(t)|</math>
```
Коэффициент Джини измеряет неравенство распределения богатства от 0 (полное равенство) до 1 (крайнее неравенство).


## Выводы по использованию формул в статье
*Индекс Херфиндаля-Хиршмана для концентрации богатства
<math>HHI(t) = \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{w_i(t)}{W} \right)^2</math>


1. **Для описания динамики модели** используются разностные уравнения
*Энтропия распределения богатства
2. **Для статистического анализа** применяются формулы описательной статистики
<math>S(t) = -\sum_{i=1}^{N} \frac{w_i(t)}{W} \ln \left( \frac{w_i(t)}{W} \right)</math>
3. **Для измерения неравенства** используются специализированные коэффициенты
4. **Для анализа распределений** применяются теоретические законы распределения
5. **Все формулы сопровождаются пояснениями** переменных и параметров


Статья демонстрирует комплексный подход к математическому описанию агентной модели с использованием статистических методов анализа.
*Процентильные характеристики
Доля богатства у топ-процентилей:
<math>Top1\%(t)</math> - доля богатства у 1% самых богатых агентов
<math>Top10\%(t)</math> - доля богатства у 10% самых богатых агентов 
<math>Bottom50\%(t)</math> - доля богатства у 50% самых бедных агентов
*Квантили распределения
<math>Q_p(t) = \inf\{w : F_w(w,t) \geq p\}</math>
где <math>F_w(w,t)</math> - кумулятивная функция распределения богатства в момент времени <math>t</math>.
*Мобильность богатства
<math>Mobility(t) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} |rank_i(t) - rank_i(0)|</math>
где <math>rank_i(t)</math> - ранг агента <math>i</math> по богатству в момент времени <math>t</math>.
*Корреляция богатства во времени
<math>\rho(t,s) = \frac{Cov(W(t), W(s))}{\sigma_W(t)\sigma_W(s)}</math>
распределению богатства:
*Стационарное распределение:
<math>P(w) = \frac{1}{\langle w \rangle} e^{-w/\langle w \rangle}</math>
где <math>\langle w \rangle</math> - среднее богатство.

Текущая версия от 19:04, 21 ноября 2025

Анализ использования математических формул в статье "Simple Economy" Краткое описание модели

Simple Economy представляет собой базовую модель экономического обмена. Модель иллюстрирует случайное блуждание богатства. Если [math]\displaystyle{ W_i(t) }[/math] — богатство агента [math]\displaystyle{ i }[/math] в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math], то:

[math]\displaystyle{ W_i(t+1) = W_i(t) + X_i(t) - Y_i(t) }[/math]

где [math]\displaystyle{ X_i(t) }[/math] — полученные деньги, [math]\displaystyle{ Y_i(t) }[/math] — отданные деньги.

  1. Формирование экспоненциального распределения

После многих итераций распределение богатства приближается к экспоненциальному распределению:

[math]\displaystyle{ f(w) = \lambda e^{-\lambda w} \quad \text{где} \quad \lambda = 1/\bar{w} }[/math], а [math]\displaystyle{ \bar{w} }[/math] — среднее богатство.

  • Параметры этого распределения:

- [math]\displaystyle{ M(W) = 1/\lambda }[/math] - [math]\displaystyle{ D(W) = 1/\lambda^2 }[/math] - [math]\displaystyle{ \sigma(W) = 1/\lambda }[/math]

  1. Математическое описание модели
  1. Основные параметры

Количество агентов: [math]\displaystyle{ N = 500 }[/math] агентов в системе Начальное богатство: [math]\displaystyle{ w_i(0) = 100 }[/math] долларов для каждого агента [math]\displaystyle{ i }[/math] Общее богатство системы: [math]\displaystyle{ W = N \times 100 = 50,000 }[/math] долларов (константа)

  1. Правила обмена

На каждом временном шаге [math]\displaystyle{ t }[/math] для каждого агента [math]\displaystyle{ i }[/math]: [math]\displaystyle{ w_i(t + 1) = \begin{cases} w_i(t) - 1 + \delta_{i,j}(t) & \text{если } w_i(t) \gt 0 \\ w_i(t) + \delta_{i,j}(t) & \text{если } w_i(t) = 0 \end{cases} }[/math] где: - [math]\displaystyle{ w_i(t) }[/math] - богатство агента [math]\displaystyle{ i }[/math] в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math] - [math]\displaystyle{ \delta_{i,j}(t) }[/math] - индикаторная функция, равная 1, если агент [math]\displaystyle{ i }[/math] получает доллар от агента [math]\displaystyle{ j }[/math], и 0 в противном случае - [math]\displaystyle{ j }[/math] - случайно выбранный агент-отправитель

  1. Основные переменные для анализа
  • Индивидуальные характеристики агентов

- [math]\displaystyle{ w_i(t) }[/math] - богатство каждого агента в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math] - [math]\displaystyle{ x_i(t) }[/math] - позиция агента (равная его богатству) - [math]\displaystyle{ transfers\_sent_i(t) }[/math] - количество переводов, отправленных агентом - [math]\displaystyle{ transfers\_received_i(t) }[/math] - количество переводов, полученных агентом

  • Агрегированные показатели

- [math]\displaystyle{ \bar{w}(t) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} w_i(t) }[/math] - средний уровень богатства - [math]\displaystyle{ \sigma_w^2(t) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (w_i(t) - \bar{w}(t))^2 }[/math] - дисперсия богатства - [math]\displaystyle{ w_{max}(t) = \max_i w_i(t) }[/math] - максимальное богатство - [math]\displaystyle{ w_{min}(t) = \min_i w_i(t) }[/math] - минимальное богатство

  • Статистические меры неравенства
  • Коэффициент Джини

[math]\displaystyle{ G(t) = \frac{1}{2N^2 \bar{w}(t)} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} |w_i(t) - w_j(t)| }[/math] Коэффициент Джини измеряет неравенство распределения богатства от 0 (полное равенство) до 1 (крайнее неравенство).

  • Индекс Херфиндаля-Хиршмана для концентрации богатства

[math]\displaystyle{ HHI(t) = \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{w_i(t)}{W} \right)^2 }[/math]

  • Энтропия распределения богатства

[math]\displaystyle{ S(t) = -\sum_{i=1}^{N} \frac{w_i(t)}{W} \ln \left( \frac{w_i(t)}{W} \right) }[/math]

  • Процентильные характеристики

Доля богатства у топ-процентилей: [math]\displaystyle{ Top1\%(t) }[/math] - доля богатства у 1% самых богатых агентов [math]\displaystyle{ Top10\%(t) }[/math] - доля богатства у 10% самых богатых агентов [math]\displaystyle{ Bottom50\%(t) }[/math] - доля богатства у 50% самых бедных агентов

  • Квантили распределения

[math]\displaystyle{ Q_p(t) = \inf\{w : F_w(w,t) \geq p\} }[/math] где [math]\displaystyle{ F_w(w,t) }[/math] - кумулятивная функция распределения богатства в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math].

  • Мобильность богатства

[math]\displaystyle{ Mobility(t) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} |rank_i(t) - rank_i(0)| }[/math] где [math]\displaystyle{ rank_i(t) }[/math] - ранг агента [math]\displaystyle{ i }[/math] по богатству в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math].

  • Корреляция богатства во времени

[math]\displaystyle{ \rho(t,s) = \frac{Cov(W(t), W(s))}{\sigma_W(t)\sigma_W(s)} }[/math] распределению богатства:

  • Стационарное распределение:

[math]\displaystyle{ P(w) = \frac{1}{\langle w \rangle} e^{-w/\langle w \rangle} }[/math] где [math]\displaystyle{ \langle w \rangle }[/math] - среднее богатство.

Источник — http://digida.mgpu.ru/index.php?title=Участник:ZatsepinNA/Economy_Task&oldid=35226