Логистическая функция: различия между версиями

Материал из Поле цифровой дидактики
Новая страница: «{{Понятие |Description='''Логистическая функция''' (от позднелат. ''logisticus'' — ритмический, пропорциональный) — это математическая функция, которая описывает S-образный процесс роста, где скорость увеличения сначала ускоряется, а затем замедляется по мере прибли...»
 
Нет описания правки
 
(не показаны 3 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
{{Понятие
{{Понятие
|Description='''Логистическая функция''' (от позднелат. ''logisticus'' — ритмический, пропорциональный) — это математическая функция, которая описывает S-образный процесс роста, где скорость увеличения сначала ускоряется, а затем замедляется по мере приближения к предельному значению.
|Description='''Логистическая функция''' (от позднелат. ''logisticus'' — ритмический, пропорциональный) — это математическая функция, которая описывает S-образный процесс роста, где скорость увеличения сначала ускоряется, а затем замедляется по мере приближения к предельному значению.
|Field_of_knowledge=Математика, Экономика, Моделирование, Коррекционная педагогика
|Inventor=Ферхюльст
|Environment=Small group discussion, Language Change
}}
}}
Логистическая функция в стандартной форме записывается как:
Логистическая функция в стандартной форме записывается как:
Строка 21: Строка 24:
</math>
</math>


В XX веке логистическая функция нашла применение в:
* '''Биологии''' — рост популяций, распространение эпидемий
* '''Экономике''' — диффузия инноваций, насыщение рынков
* '''Социологии''' — распространение информации, принятие технологий
* '''Психологии''' — процессы обучения, формирование привычек
* '''Педагогике''' — изменение убеждений, развитие компетенций


В педагогической модели дискуссии [[Small group discussion]] [[логистическая функция]] используется для моделирования процесса изменения убеждений агентов.
В педагогической модели дискуссии [[Small group discussion]] [[логистическая функция]] используется для моделирования процесса изменения убеждений агентов.
Человеческое обучение не линейно. Оно следует S-образной кривой:
* '''Начало''': медленное усвоение новых идей, сопротивление изменениям
* '''Ускорение''': когда идея становится более понятной, ускоряется адаптация
* '''Замедление''': по мере развития компетентности, дальнейший рост требует всё большего усилия
Представим студента, начинающего с низкой активностью '''K<sub>ii</sub> = 0.3''' (не уверен в своей способности говорить).
В результате позитивных взаимодействий (благоприятные транзакции, поддержка одноклассников) его убеждение меняется:
{| class="wikitable"
|-
! Момент времени (тик) !! K<sub>ii</sub> (убеждение о своей активности) !! Интерпретация
|-
| t = 0 || 0.30 || Низкая уверенность в своей способности
|-
| t = 20 || 0.38 || Медленный рост; начинает немного верить в себя
|-
| t = 40 || 0.48 || Ускоренный рост; заметное изменение отношения
|-
| t = 60 || 0.58 || Максимальная скорость роста (точка перегиба логистической кривой)
|-
| t = 80 || 0.66 || Продолжение роста, но замедление
|-
| t = 100 || 0.72 || Рост продолжается, но асимптотически приближается к максимуму
|-
| t = 200 || 0.80 || Почти достигнут потолок; дальнейший рост требует значительно больше времени
|}
== Литература ==
* Ферхюльст, П. Ф. (1838). "Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement" — оригинальная статья, где введена логистическая функция
* Murray, J. D. (2002). ''Mathematical Biology: I. An Introduction''. Springer — классический учебник по математической биологии с разделом о логистической функции
* Копосов, Е. М. (2010). ''[[Логистическая функция]] в биологии и математике'' — краткое введение на русском языке

Текущая версия от 10:31, 16 декабря 2025


Описание Логистическая функция (от позднелат. logisticus — ритмический, пропорциональный) — это математическая функция, которая описывает S-образный процесс роста, где скорость увеличения сначала ускоряется, а затем замедляется по мере приближения к предельному значению.
Область знаний Математика, Экономика, Моделирование, Коррекционная педагогика
Авторы Ферхюльст
Поясняющее видео
Близкие понятия
Среды и средства для освоения понятия Small group discussion, Language Change

Логистическая функция в стандартной форме записывается как:

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{L}{1 + e^{-k(x - x_0)}} }[/math]

где:

  • L — верхний асимптотический предел (максимальное значение функции); обычно L = 1
  • e — число Эйлера (≈ 2.718)
  • k — крутизна кривой (параметр наклона); определяет скорость перехода
  • x₀ — точка смещения (x-координата точки перегиба); значение x, при котором f(x) = L/2
  • x — независимая переменная

В упрощённом виде (L = 1):

[math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{1 + e^{-kx}} }[/math]

В XX веке логистическая функция нашла применение в:

  • Биологии — рост популяций, распространение эпидемий
  • Экономике — диффузия инноваций, насыщение рынков
  • Социологии — распространение информации, принятие технологий
  • Психологии — процессы обучения, формирование привычек
  • Педагогике — изменение убеждений, развитие компетенций

В педагогической модели дискуссии Small group discussion логистическая функция используется для моделирования процесса изменения убеждений агентов.

Человеческое обучение не линейно. Оно следует S-образной кривой:

  • Начало: медленное усвоение новых идей, сопротивление изменениям
  • Ускорение: когда идея становится более понятной, ускоряется адаптация
  • Замедление: по мере развития компетентности, дальнейший рост требует всё большего усилия


Представим студента, начинающего с низкой активностью Kii = 0.3 (не уверен в своей способности говорить).

В результате позитивных взаимодействий (благоприятные транзакции, поддержка одноклассников) его убеждение меняется:

Момент времени (тик) Kii (убеждение о своей активности) Интерпретация
t = 0 0.30 Низкая уверенность в своей способности
t = 20 0.38 Медленный рост; начинает немного верить в себя
t = 40 0.48 Ускоренный рост; заметное изменение отношения
t = 60 0.58 Максимальная скорость роста (точка перегиба логистической кривой)
t = 80 0.66 Продолжение роста, но замедление
t = 100 0.72 Рост продолжается, но асимптотически приближается к максимуму
t = 200 0.80 Почти достигнут потолок; дальнейший рост требует значительно больше времени

Литература

  • Ферхюльст, П. Ф. (1838). "Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement" — оригинальная статья, где введена логистическая функция
  • Murray, J. D. (2002). Mathematical Biology: I. An Introduction. Springer — классический учебник по математической биологии с разделом о логистической функции
  • Копосов, Е. М. (2010). Логистическая функция в биологии и математике — краткое введение на русском языке
Источник — http://digida.mgpu.ru/index.php?title=Логистическая_функция&oldid=38204