Система эконометрических уравнений

Описание	Система эконометрических уравнений представляет собой совокупность взаимосвязанных регрессионных уравнений, каждая из которых описывает определённый аспект экономических процессов. В таких системах учтены эндогенные переменные (зависящие от модели) и экзогенные (внешние факторы). Отличительной особенностью такой системы является то, что одна и та же переменная может одновременно выступать в качестве зависимой переменной в одном уравнении и независимой переменной в другом. Системы уравнений используются для моделирования сложных социально-экономических процессов, которые невозможно описать одиночным уравнением
Область знаний	Социология, Экономика, Статистика
Авторы
Поясняющее видео
Близкие понятия	Переменная
Среды и средства для освоения понятия	Urban Suite - Economic Disparity

Общее понятие о системах уравнений в эконометрике

Социально-экономические процессы редко зависят от одной переменной. Например, формирование цены на товар зависит одновременно от спроса и предложения, которые в свою очередь также влияют друг на друга. Или при анализе доходов организации нужно учитывать не только расходы на производство, но и влияние инвестиций на валовой продукт. Для описания таких взаимодействующих процессов в эконометрике используются системы уравнений.

Главная особенность систем эконометрических уравнений — наличие одновременности в функционировании системы. Это означает, что эндогенные переменные (переменные, определяемые внутри модели) одновременно зависят друг от друга и от экзогенных переменных (переменных, определяемых вне модели).

[math]\displaystyle{ Система: \begin{cases} y_{1t} = \beta_{10} + \beta_{11} y_{2t} + \gamma_{1}' x_{t} + u_{1t},\\ y_{2t} = \beta_{20} + \beta_{21} y_{1t} + \gamma_{2}' x_{t} + u_{2t}, \end{cases} }[/math]

Пример — анализ рынка образовательных услуг в организации. Количество студентов (Q) зависит от стоимости обучения (P), а стоимость обучения зависит от спроса на образовательные услуги и от предложения. Такая взаимозависимость описывается системой одновременных уравнений.

Эндогенные переменные

Эндогенные переменные — это переменные, значения которых определяются внутри модели на основе взаимодействия уравнений системы. Они зависят от экзогенных переменных и от других эндогенных переменных.

Экзогенные переменные

Экзогенные переменные — это переменные, значения которых определяются вне модели (задаются экзогенно). Они не коррелируют со случайными ошибками модели.

Примеры:

• Размер государственного финансирования
• Демографические показатели
• Время года (для сезонных анализов)

Прямое применение метода наименьших квадратов (МНК) к структурной форме дает смещённые и несостоятельные оценки коэффициентов из-за корреляции эндогенных переменных с ошибками.

Структурная форма

Структурная форма содержит уравнения, которые описывают экономическую теорию и причинно-следственные отношения между переменными.

Общая запись структурной формы

[math]\displaystyle{ \Gamma y_t + B x_t = \varepsilon_t }[/math]

где

• [math]\displaystyle{ y_t }[/math] — вектор эндогенных переменных размерности (m × 1)
• [math]\displaystyle{ x_t }[/math] — вектор экзогенных переменных размерности (k × 1)
• [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — матрица коэффициентов при эндогенных переменных (m × m)
• [math]\displaystyle{ B }[/math] — матрица коэффициентов при экзогенных переменных (m × k)
• [math]\displaystyle{ \varepsilon_t }[/math] — вектор ошибок структурной формы

Приведённая форма

Приведённая форма — это преобразованная запись системы, в которой каждая эндогенная переменная выражена только через экзогенные (или предопределённые) переменные

Общая запись приведённой формы

[math]\displaystyle{ y_t = \Pi x_t + \nu_t }[/math]

где

• [math]\displaystyle{ \Pi = -\Gamma^{-1} B }[/math] — матрица коэффициентов приведённой формы (m × k)
• [math]\displaystyle{ \nu_t = -\Gamma^{-1} \varepsilon_t }[/math] — вектор ошибок приведённой формы

Типы систем эконометрических уравнений

Системы рекурсивных (треугольных) уравнений

Рекурсивная система — это система, в которой матрица коэффициентов при эндогенных переменных имеет треугольную форму. Это означает, что первое уравнение содержит только одну эндогенную переменную, второе — не более двух, и т.д.

К каждому уравнению рекурсивной системы можно применить обычный МНК, так как ошибки некоррелированы с эндогенными переменными, включенными в это уравнение.

Системы одновременных (не-рекурсивных) уравнений

Система одновременных уравнений — это система, в которой эндогенные переменные взаимно зависят друг от друга. Матрица коэффициентов при эндогенных переменных не имеет треугольной формы.

Примеры

Классическая модель рыночного равновесия описывается системой двух уравнений:

[math]\displaystyle{ \displaystyle{\begin{cases} Q_d = a - bP \\ Q_s = c + dP \\ Q_d = Q_s \end{cases}} }[/math]

Система уравнений в эконометрическом виде

[math]\displaystyle{ \displaystyle{Q_d = 50 - 5P + u_1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle{Q_s = 10 + 3P + u_2} }[/math]

Сравнение типов уравнений

Тип системы	Математическая запись	Взаимозависимость	Примеры	МНК работает?	Особенности
Одиночное рекурсивное уравнение	[math]\displaystyle{ \displaystyle{W(t+1) = W(t) + Y(t) - m} }[/math]	Нет. Только W(t) → W(t+1)	Сбережение одного индивида со временем	Да	Простая динамика одной переменной. МНК даёт состоятельные оценки.
Семейство независимых рекурсивных уравнений	[math]\displaystyle{ \displaystyle{\begin{cases} W_1(t+1) = W_1(t) + Y_1(t) - m_1 \\ W_2(t+1) = W_2(t) + Y_2(t) - m_2 \\ W_3(t+1) = W_3(t) + Y_3(t) - m_3 \end{cases}} }[/math]	Нет. Агент 1 не влияет на агента 2	Несколько независимых людей, каждый копит отдельно	Да	Много уравнений, но не связаны. Выглядит как система, но это просто набор. МНК применим к каждому отдельно.
Рекурсивная система	[math]\displaystyle{ \displaystyle{\begin{cases} Y = \alpha_0 + \alpha_1 X + \varepsilon_1 \\ Z = \beta_0 + \beta_1 Y + \varepsilon_2 \\ W = \gamma_0 + \gamma_1 Z + \varepsilon_3 \end{cases}} }[/math]	Упорядоченная: Y → Z → W (триангулярная структура)	Доход → Потребление → Сбережение	Да	Триангулярность: каждый новый Y зависит только от предыдущих. МНК работает.
Система одновременных уравнений	[math]\displaystyle{ \displaystyle{\begin{cases} y_1(t) = \alpha_{10} + \alpha_{12} y_2(t) + \beta_1 x(t) + \varepsilon_1(t) \\ y_2(t) = \alpha_{20} + \alpha_{21} y_1(t) + \beta_2 x(t) + \varepsilon_2(t) \end{cases}} }[/math]	Нет. Полная обратная связь в один период. y₁ влияет на y₂, y₂ влияет на y₁ одновременно	Спрос и предложение (цена влияет на спрос, спрос влияет на цену в один момент)	Нет Нужен ДМНК	Одновременность (simultaneity). МНК смещён. Решение: инструментальные переменные, ДМНК (двухшаговый МНК).
Скрытая система (Wealth Distribution)	На поверхности выглядит как семейство: [math]\displaystyle{ \displaystyle{W_i(t+1) = W_i(t) + Y_i(t) - m_i} }[/math] На самом деле: [math]\displaystyle{ \displaystyle{Y_i(t) = f(\text{vision}_i) \cdot \frac{1}{\text{count}(\text{агентов на месте})} }[/math]	Нет Скрыта в конкуренции. Агент 1 конкурирует с агентом 2 за ресурсы, хотя явно не связаны	Wealth Distribution: люди борются за зерно (видимо независимо, но на самом деле конкурируют)	Зависит от подхода	Выглядит как независимые, но конечные ресурсы ограничены. Создаёт систему через конкуренцию. Ещё: селекция (выживание) создаёт обратную связь через время.