Patarakin: Новая страница: «{{DigitalTool |Description=Тест множителей Лагранжа (англ. Lagrange multiplier test, Score test) — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оцененных на основе выборочных данных. Является одним из трёх базовых тестов провер...»

2025-10-09T08:10:21Z

Новая страница: «{{DigitalTool |Description=Тест множителей Лагранжа (англ. Lagrange multiplier test, Score test) — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оцененных на основе выборочных данных. Является одним из трёх базовых тестов провер...»

Новая страница

{{DigitalTool
|Description=Тест множителей Лагранжа (англ. Lagrange multiplier test, Score test) — статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оцененных на основе выборочных данных. Является одним из трёх базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом отношения правдоподобия и тестом Вальда. Тест является асимптотическим, то есть для достоверности выводов требуется достаточно большой объем выборки.
|Field_of_knowledge=Социология, Экономика, Статистика
|End users=Преподаватели, Исследователи
|Tool is made for=Статистический анализ
|distant_collab=Нет
|Language_Ru_Eng=English
|AI=Нет
}}
== Сущность и процедура теста ==

Пусть имеется эконометрическая модель с вектором параметров b. Необходимо проверить по выборочным данным гипотезу <math>H_0:~g(b)=0</math>, где g — совокупность (вектор) некоторых функций параметров. Идея теста основана на применении известного метода множителей Лагранжа для оценки параметров ограниченной (короткой) модели, исходя из модели без ограничений (длинной модели). Пусть логарифмическая функция правдоподобия для длинной модели равна <math>l(b)</math>. Для оценки короткой модели необходимо построить функцию Лагранжа

<math>F(b,\lambda)=l(b)-\lambda^Tg(b)</math>

Тогда условия максимума будут иметь вид:

<math>\frac {\partial F(b,\lambda)}{\partial b}=\frac {\partial l(b)}{\partial b}-G(b)\lambda=0~,~~g(b)=0~,~G(b)=\frac {\partial g(b)} {\partial b}</math>

Тест основан на том, что если ограничения выполняются, то множители Лагранжа должны быть равны нулю. Поскольку вместо истинных значений параметров будут использоваться оцененные, то множители Лагранжа должны быть просто максимально близки к нулю, а именно — можно показать, что оценки множителей Лагранжа имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей <math>(GV_{\hat{b}}G^T)^{-1}</math>, зависящей от ковариационной матрицы оценок параметров длинной модели. Тогда статистика теста

<math>LM=\lambda^T GV_{\hat{b}}G^T\lambda</math>

будет иметь распределение Хи-квадрат, с q степенями свободы, где q — количество ограничений.

Тест множителей Лагранжа - История изменений