Patarakin: Новая страница: «{{Понятие |Description=Тест Бройша — Пагана (англ. Breusch–Pagan test) используется для обнаружения гетероскедастичности — зависимости дисперсии случайной ошибки от значений регрессоров. В контексте модели «Economic Disparity» тест позволяет проверить, меняется ли разбро...»

2025-09-20T05:00:48Z

Новая страница: «{{Понятие |Description=Тест Бройша — Пагана (англ. Breusch–Pagan test) используется для обнаружения гетероскедастичности — зависимости дисперсии случайной ошибки от значений регрессоров. В контексте модели «Economic Disparity» тест позволяет проверить, меняется ли разбро...»

Новая страница

{{Понятие
|Description=Тест Бройша — Пагана (англ. Breusch–Pagan test) используется для обнаружения гетероскедастичности — зависимости дисперсии случайной ошибки от значений регрессоров. В контексте модели «Economic Disparity» тест позволяет проверить, меняется ли разброс ошибок в зависимости от качества земли и других факторов.
|Field_of_knowledge=Экономика, Статистика
|similar_concepts=гетероскедастичность
|Environment=Economic Disparity
}}
=== Идея теста ===

Оценивается базовая линейная модель
<math>y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i</math>

Вычисляются остатки <math>e_i = y_i - \hat y_i</math> и их квадраты <math>e_i^2</math>.

Проводится вспомогательная регрессия квадрата остатков на набор регрессоров (например, <math>x_i</math>):
<math>e_i^2 = \alpha_0 + \alpha_1 x_i + u_i</math>

Статистика теста определяется как
<math>LM = n \cdot R^2_{\text{aux}}</math>
где <math>n</math> — число наблюдений, а <math>R^2_{\text{aux}}</math> — коэффициент детерминации вспомогательной регрессии.

При отсутствии гетероскедастичности <math>LM \sim \chi^2_{k}</math>, где <math>k</math> — число регрессоров в вспомогательной модели (без константы).

=== Формулы ===
<math>
e_i = y_i - \hat y_i
</math>

<math>
e_i^2 = (y_i - \hat y_i)^2
</math>

<math>
e_i^2 = \alpha_0 + \sum_{j=1}^{k} \alpha_j x_{ij} + u_i
</math>

<math>
LM = n \cdot R^2_{\text{aux}} \quad\text{и}\quad LM \sim \chi^2_{k}
</math>

=== Пример в R для модели «Economic Disparity» ===
Предположим, что данные смоделированы и сохранены в таблице `land_data` с переменными `price_observed` и `quality`.

<syntaxhighlight lang="R">
# Установка и загрузка пакета
install.packages("lmtest")
library(lmtest)

# Базовая модель: зависимость наблюдаемой цены от качества
model <- lm(price_observed ~ quality, data = land_data)

# Проведение теста Бройша-Пагана
bp_result <- bptest(model)

# Вывод результатов
print(bp_result)
</syntaxhighlight>

Результат будет содержать статистику <math>LM</math> и p-value. Если p-value меньше уровня значимости (обычно 0.05), гипотеза гомоскедастичности отвергается.

=== Ручная реализация вспомогательной регрессии ===
<syntaxhighlight lang="R">
# Вычисление остатков и их квадратов
land_data$residuals <- residuals(model)
land_data$res2 <- land_data$residuals^2

# Вспомогательная регрессия на переменную quality
aux_model <- lm(res2 ~ quality, data = land_data)

# Расчет статистики LM
n <- nrow(land_data)
R2_aux <- summary(aux_model)$r.squared
LM <- n * R2_aux

# p-value по распределению хи-квадрат
k <- length(coef(aux_model)) - 1
p_value <- 1 - pchisq(LM, df = k)

cat("LM =", LM, "\n")
cat("df =", k, "\n")
cat("p-value =", p_value, "\n")
</syntaxhighlight>

=== Интерпретация для модели «Economic Disparity» ===
Если дисперсия ошибок не зависит от качества земли, тест вернёт большой p-value и гомоскедастичность не отвергается.
* При гетероскедастичности (например, в богатых кластерах малая дисперсия, а в бедных — большая) p-value будет меньше 0.05, что укажет на необходимость корректировки оценок (например, использование робастных стандартных ошибок).

Проверка гетероскедастичности с помощью теста Бройша — Пагана позволяет повысить надёжность выводов и корректность доверительных интервалов в анализе данных модели «[[Economic Disparity]]».

Тест Бройша — Пагана - История изменений