Дифференциальное уравнение в частных производных - История изменений

Patarakin в 12:04, 16 февраля 2024

2024-02-16T12:04:28Z

← Предыдущая версия		Версия от 15:04, 16 февраля 2024
Строка 3:		Строка 3:
	\|Field_of_knowledge=Математика		\|Field_of_knowledge=Математика
	\|Inventor=Эйлер		\|Inventor=Эйлер
	\|similar_concepts=Дифференциальное уравнение, Клеточный автомат, Агентное моделирование		\|similar_concepts=Дифференциальное уравнение, Клеточный автомат, Агентное моделирование, PDE
	\|Environment=Wolfram		\|Environment=Wolfram
	}}		}}

Patarakin: /* Сравнение с другими методами */

2024-02-16T11:24:34Z

Сравнение с другими методами

← Предыдущая версия		Версия от 14:24, 16 февраля 2024
Строка 24:		Строка 24:
	где ''c'' — произвольная математическая константа (не зависящая от <math>x</math>). Эти два примера показывают, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержит произвольные константы, но общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольные функции. Решение дифференциального уравнения в частных производных, вообще говоря, не единственно. В общем случае на границе рассматриваемой области задаются дополнительные условия. Например, решение выше рассмотренного уравнения (функция <math>f(x)</math>) определяется единственным образом, если <math>u</math> определена на линии <math>y=0</math>.		где ''c'' — произвольная математическая константа (не зависящая от <math>x</math>). Эти два примера показывают, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержит произвольные константы, но общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольные функции. Решение дифференциального уравнения в частных производных, вообще говоря, не единственно. В общем случае на границе рассматриваемой области задаются дополнительные условия. Например, решение выше рассмотренного уравнения (функция <math>f(x)</math>) определяется единственным образом, если <math>u</math> определена на линии <math>y=0</math>.

	== Сравнение с другими методами ==		== Сравнение с другими методами ([[ABM]] + [[Клеточный автомат]]) ==

	Хотя [[Partial Differential Equations]] - [[PDE]] доказали свою чрезвычайно мощную математическую основу, у них есть несколько особенностей, которые могут ограничить их использование для определенных биологических задач.		Хотя [[Partial Differential Equations]] - [[PDE]] доказали свою чрезвычайно мощную математическую основу, у них есть несколько особенностей, которые могут ограничить их использование для определенных биологических задач.

Patarakin: /* Сравнение с другими методами */

2024-02-16T11:22:17Z

Сравнение с другими методами

← Предыдущая версия		Версия от 14:22, 16 февраля 2024
Строка 27:		Строка 27:

	Хотя [[Partial Differential Equations]] - [[PDE]] доказали свою чрезвычайно мощную математическую основу, у них есть несколько особенностей, которые могут ограничить их использование для определенных биологических задач.		Хотя [[Partial Differential Equations]] - [[PDE]] доказали свою чрезвычайно мощную математическую основу, у них есть несколько особенностей, которые могут ограничить их использование для определенных биологических задач.
	# Во-первых, PDE детерминированы; это означает, что они обеспечивают единую реализацию системы. Хотя это может быть полезно в некоторых системах, но когда система является стохастической (т. е. результаты работы системы будут различаться), PDE может быть неправильным выбором. # Во-вторых, PDE требуют полного указания набора уравнений и параметров. Во многих случаях используемые уравнения выбираются для конкретной системы и требуют значительных объемов информации (например, концентрации, плотности частиц, градиентов гидростатического давления жидкостей). Кроме того, было установлено, что формы уравнений верны только при определенных условиях.		# Во-первых, PDE детерминированы; это означает, что они обеспечивают единую реализацию системы. Хотя это может быть полезно в некоторых системах, но когда система является стохастической (т. е. результаты работы системы будут различаться), PDE может быть неправильным выбором.
			# Во-вторых, PDE требуют полного указания набора уравнений и параметров. Во многих случаях используемые уравнения выбираются для конкретной системы и требуют значительных объемов информации (например, концентрации, плотности частиц, градиентов гидростатического давления жидкостей). Кроме того, было установлено, что формы уравнений верны только при определенных условиях.
	# В-третьих, численные методы анализа PDE часто разрабатываются для работы с точными областями и определяющими уравнениями; это может потребовать существенного переписывания кода при изменении предположений и условий.		# В-третьих, численные методы анализа PDE часто разрабатываются для работы с точными областями и определяющими уравнениями; это может потребовать существенного переписывания кода при изменении предположений и условий.

Patarakin в 11:14, 16 февраля 2024

2024-02-16T11:14:27Z

← Предыдущая версия		Версия от 14:14, 16 февраля 2024
Строка 3:		Строка 3:
	\|Field_of_knowledge=Математика		\|Field_of_knowledge=Математика
	\|Inventor=Эйлер		\|Inventor=Эйлер
	\|similar_concepts=Дифференциальное уравнение		\|similar_concepts=Дифференциальное уравнение, Клеточный автомат, Агентное моделирование
	\|Environment=Wolfram		\|Environment=Wolfram
	}}		}}

Patarakin в 11:09, 16 февраля 2024

2024-02-16T11:09:35Z

← Предыдущая версия		Версия от 14:09, 16 февраля 2024
Строка 23:		Строка 23:

	где ''c'' — произвольная математическая константа (не зависящая от <math>x</math>). Эти два примера показывают, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержит произвольные константы, но общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольные функции. Решение дифференциального уравнения в частных производных, вообще говоря, не единственно. В общем случае на границе рассматриваемой области задаются дополнительные условия. Например, решение выше рассмотренного уравнения (функция <math>f(x)</math>) определяется единственным образом, если <math>u</math> определена на линии <math>y=0</math>.		где ''c'' — произвольная математическая константа (не зависящая от <math>x</math>). Эти два примера показывают, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержит произвольные константы, но общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольные функции. Решение дифференциального уравнения в частных производных, вообще говоря, не единственно. В общем случае на границе рассматриваемой области задаются дополнительные условия. Например, решение выше рассмотренного уравнения (функция <math>f(x)</math>) определяется единственным образом, если <math>u</math> определена на линии <math>y=0</math>.

			== Сравнение с другими методами ==

			Хотя [[Partial Differential Equations]] - [[PDE]] доказали свою чрезвычайно мощную математическую основу, у них есть несколько особенностей, которые могут ограничить их использование для определенных биологических задач.
			# Во-первых, PDE детерминированы; это означает, что они обеспечивают единую реализацию системы. Хотя это может быть полезно в некоторых системах, но когда система является стохастической (т. е. результаты работы системы будут различаться), PDE может быть неправильным выбором. # Во-вторых, PDE требуют полного указания набора уравнений и параметров. Во многих случаях используемые уравнения выбираются для конкретной системы и требуют значительных объемов информации (например, концентрации, плотности частиц, градиентов гидростатического давления жидкостей). Кроме того, было установлено, что формы уравнений верны только при определенных условиях.
			# В-третьих, численные методы анализа PDE часто разрабатываются для работы с точными областями и определяющими уравнениями; это может потребовать существенного переписывания кода при изменении предположений и условий.

Patarakin в 11:02, 16 февраля 2024

2024-02-16T11:02:33Z

← Предыдущая версия		Версия от 14:02, 16 февраля 2024
Строка 1:		Строка 1:
	{{Понятие		{{Понятие
	\|Description=Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных (частные случаи также известны как уравне́ния математи́ческой фи́зики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.		\|Description=Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных (частные случаи также известны как уравне́ния математи́ческой фи́зики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.
			\|Field_of_knowledge=Математика
	\|Inventor=Эйлер		\|Inventor=Эйлер
	\|similar_concepts=Дифференциальное уравнение		\|similar_concepts=Дифференциальное уравнение

Patarakin в 11:02, 16 февраля 2024

2024-02-16T11:02:16Z

← Предыдущая версия		Версия от 14:02, 16 февраля 2024
Строка 9:		Строка 9:
	: <math> \frac{\partial}{\partial y}u(x,y)=0\, .</math>		: <math> \frac{\partial}{\partial y}u(x,y)=0\, .</math>

	Из этого соотношения ~~[[импликация\|~~следует]], что значение функции <math>u(x,y)</math> не зависит от <math>y</math>. Мы можем положить её равной произвольной функции от <math>x</math>. Следовательно, общее решение уравнения следующее:		Из этого соотношения следует, что значение функции <math>u(x,y)</math> не зависит от <math>y</math>. Мы можем положить её равной произвольной функции от <math>x</math>. Следовательно, общее решение уравнения следующее:

	: <math>u(x,y) = f(x),</math>		: <math>u(x,y) = f(x),</math>

	где <math>f(x)</math> — произвольная функция переменной <math>x</math>. Аналогичное [[обыкновенное дифференциальное уравнение]] имеет вид:		где <math>f(x)</math> — произвольная функция переменной <math>x</math>. Аналогичное обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:

	: <math> \frac{dv(x)}{dx}=0</math>		: <math> \frac{dv(x)}{dx}=0</math>

Patarakin: Новая страница: «{{Понятие |Description=Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных (частные случаи также известны как уравне́ния математи́ческой фи́зики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные произ...»

2024-02-16T11:01:31Z

Новая страница: «{{Понятие |Description=Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных (частные случаи также известны как уравне́ния математи́ческой фи́зики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные произ...»

Новая страница

{{Понятие
|Description=Дифференциа́льное уравне́ние в ча́стных произво́дных (частные случаи также известны как уравне́ния математи́ческой фи́зики, УМФ) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.
|Inventor=Эйлер
|similar_concepts=Дифференциальное уравнение
|Environment=Wolfram
}}
Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:

: <math> \frac{\partial}{\partial y}u(x,y)=0\, .</math>

Из этого соотношения [[импликация|следует]], что значение функции <math>u(x,y)</math> не зависит от <math>y</math>. Мы можем положить её равной произвольной функции от <math>x</math>. Следовательно, общее решение уравнения следующее:

: <math>u(x,y) = f(x),</math>

где <math>f(x)</math> — произвольная функция переменной <math>x</math>. Аналогичное [[обыкновенное дифференциальное уравнение]] имеет вид:

: <math> \frac{dv(x)}{dx}=0</math>

и его решение

: <math>v(x) = c,</math>

где ''c'' — произвольная математическая константа (не зависящая от <math>x</math>). Эти два примера показывают, что общее решение обыкновенного дифференциального уравнения содержит произвольные константы, но общее решение дифференциального уравнения в частных производных содержит произвольные функции. Решение дифференциального уравнения в частных производных, вообще говоря, не единственно. В общем случае на границе рассматриваемой области задаются дополнительные условия. Например, решение выше рассмотренного уравнения (функция <math>f(x)</math>) определяется единственным образом, если <math>u</math> определена на линии <math>y=0</math>.