редактировать понятие: ДМНК

Текст:

'''ДМНК''' (аббревиатура от «Двухшаговый Метод Наименьших Квадратов») — это эконометрический метод оценивания параметров системы одновременных уравнений, когда обычный [[МНК]] даёт смещённые оценки из-за '''эндогенности''' переменных Рассмотрим систему: <math>\displaystyle{\begin{cases} y_1(t) = \alpha_0 + \alpha_1 y_2(t) + \beta_1 x(t) + \varepsilon_1(t) \\ y_2(t) = \gamma_0 + \gamma_1 y_1(t) + \beta_2 x(t) + \varepsilon_2(t) \end{cases}}</math> Здесь: * <math>\displaystyle{y_1}</math> и <math>\displaystyle{y_2}</math> — эндогенные переменные (взаимно зависят друг от друга) * <math>\displaystyle{x}</math> — экзогенная переменная (независимая) * <math>\displaystyle{\alpha_1}</math> и <math>\displaystyle{\gamma_1}</math> — коэффициенты взаимного влияния Если применить обычный МНК к первому уравнению: <math>\displaystyle{y_1 = \alpha_0 + \alpha_1 y_2 + \beta_1 x + \varepsilon_1}</math> То <math>\displaystyle{y_2}</math> коррелирует с <math>\displaystyle{\varepsilon_1}</math> (ошибкой), потому что: * <math>\displaystyle{y_2}</math> зависит от <math>\displaystyle{y_1}</math> * <math>\displaystyle{y_1}</math> содержит ошибку <math>\displaystyle{\varepsilon_1}</math> * Поэтому <math>\displaystyle{\operatorname{E}[\varepsilon_1 | y_2] \neq 0}</math> — условие МНК нарушено! Оценка будет '''смещённой''' и '''несостоятельной'''. Цель: заменить <math>\displaystyle{y_2}</math> на его '''предсказанное значение''' <math>\displaystyle{\hat{y}_2}</math>, которое не коррелирует с ошибкой. Запишем <math>\displaystyle{y_2}</math> как линейную комбинацию только '''экзогенных''' переменных: <math>\displaystyle{y_2 = \pi_0 + \pi_1 x + \pi_2 z + v}</math> где: * <math>\displaystyle{z}</math> — '''инструментальная переменная''' (переменная-инструмент) * <math>\displaystyle{v}</math> — ошибка этого уравнения '''На стадии 1:''' Применяем '''МНК''' к этому уравнению и получаем: <math>\displaystyle{\hat{y}_2 = \hat{\pi}_0 + \hat{\pi}_1 x + \hat{\pi}_2 z}</math> Теперь заменяем <math>\displaystyle{y_2}</math> на <math>\displaystyle{\hat{y}_2}</math> в исходном уравнении: <math>\displaystyle{y_1 = \alpha_0 + \alpha_1 \hat{y}_2 + \beta_1 x + \varepsilon_1}</math> Применяем [[МНК]] к этому модифицированному уравнению и получаем: <math>\displaystyle{\hat{\alpha}_1^{\text{2SLS}}, \hat{\beta}_1^{\text{2SLS}}, \ldots}</math> == Wealth Distribution (распределение богатства) == === Скрытая система в модели === В модели [[Wealth Distribution]] есть '''скрытая система одновременных уравнений''': <math>\displaystyle{\begin{cases} Y_i(t) = \alpha_0 + \alpha_1 v_i + u_i(t) & \text{(доход зависит от видимости)} \\ W_i(t+1) = W_i(t) + Y_i(t) - m_i & \text{(накопление)} \\ G(t) = f(W_1, W_2, \ldots, W_n) & \text{(Джини зависит от всех W)} \\ W_{\text{new}} \sim U(W_{\min}(t), W_{\max}(t)) & \text{(начальное богатство)} \end{cases}}</math> === [[Эндогенность]] === * Видимость <math>\displaystyle{v_i}</math> в первом поколении '''экзогенна''' (случайна) * Но видимость второго поколения '''зависит''' от выживания первого поколения * Выживание зависит от богатства <math>\displaystyle{W}</math> * Богатство первого поколения содержит ошибку (везение) <math>\displaystyle{u}</math> * [[Эндогенность]] формируется через селекцию!

Записать страницу Отменить