Двоичный поиск

Материал из Поле цифровой дидактики
Версия от 20:55, 19 октября 2022; Patarakin (обсуждение | вклад) (1 версия импортирована)
Файл:Binary Search Depiction.svg
Визуализация бинарного поиска по массиву. Искомое число — 7.

Двоичный (бинарный) поиск (также известен как метод деления пополам или дихотомия) — классический алгоритм поиска элемента в отсортированном массиве (векторе), использующий дробление массива на половины. Используется в информатике, вычислительной математике и математическом программировании.

Частным случаем двоичного поиска является метод бисекции, который применяется для поиска корней заданной непрерывной функции на заданном отрезке.

Поиск элемента в отсортированном массиве

Шаблон:Викиучебник

  1. Определение значения элемента в середине структуры данных. Полученное значение сравнивается с ключом.
  2. Если ключ меньше значения середины, то поиск осуществляется в первой половине элементов, иначе — во второй.
  3. Поиск сводится к тому, что вновь определяется значение серединного элемента в выбранной половине и сравнивается с ключом.
  4. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет найден элемент со значением ключа или не станет пустым интервал для поиска.

Несмотря на то, что код достаточно прост, в нём есть несколько ловушек.

  • Код (first + last) / 2 ошибочен, если first и last по отдельности умещаются в свой тип, а first+last — нет<ref name="joshua">Extra, Extra — Read All About It: Nearly All Binary Searches and Mergesorts are Broken Шаблон:Wayback // Joshua Bloch, Google Research; перевод — Почти во всех реализациях двоичного поиска и сортировки слиянием есть ошибка Шаблон:Wayback</ref>. Если теоретически возможны массивы столь большого размера, приходится идти на ухищрения:
    • Использовать код first + (last - first) / 2, который точно не приведёт к переполнениям, если имеем дело с неотрицательными целыми числами и first<last.
      • Если first и last — указатели или итераторы, такой код единственно правильный, поскольку не нарушает абстракцию (уже операция «указатель + указатель» некорректна). Разумеется, чтобы сохранялась сложность алгоритма, нужны быстрые операции «указатель+число → указатель», «указатель−указатель → число».
    • Если first и last — типы со знаком, провести расчёт в беззнаковом типе: ((unsigned)first + (unsigned)last) / 2. В Java сработает такой код: (first + last) >>> 1 (знаковое двоичное сложение совпадает с беззнаковым, Java гарантирует такое поведение даже при переполнении, и вся эта формула оперирует знаковыми числами как беззнаковыми).
    • Написать расчёт на ассемблере, с использованием флага переноса. Что-то наподобие add eax, b; rcr eax, 1. А вот длинные типы использовать нецелесообразно, first + (last - first) / 2 быстрее.
  • В двоичном поиске часты ошибки на единицу, и каждая такая ошибка превращается в зацикливание, пропуск или выход за пределы массива. Поэтому важно протестировать такие случаи: пустой массив (n=0), один элемент (n=1), ищем отсутствующее значение (слишком большое, слишком маленькое и где-то в середине), ищем первый и последний элемент.
  • Иногда требуется, чтобы, если x в цепочке существует в нескольких экземплярах, находило не любой, а обязательно первый (как вариант: последний; либо вообще не x, а следующий за ним элемент).<ref>В C++ std::lower_bound находит первое вхождение x, а std::upper_bound — элемент, следующий за x.</ref> Например, функция Шаблон:Cpp из C++ находит первый из равных, а Шаблон:Cpp — элемент, следующий за x. Если не найдено — оба возвращают место, куда вставить.

Учёный Йон Бентли утверждает, что 90 % студентов, разрабатывая двоичный поиск, забывают учесть какое-либо из этих требований. И даже в код, написанный самим Йоном и ходивший из книги в книгу, вкралась ошибка: код не стоек к переполнениям<ref name="joshua"/>.

Пример реализации на Java

int binarySearch(int[] arr, int key) {
    int low = 0;
    int high = arr.length - 1;

    while (low <= high) {
        int mid = (low + high) >>> 1;
        int midVal = arr[mid];

        if (midVal < key)
            low = mid + 1;
        else if (midVal > key)
            high = mid - 1;
        else
            return mid; // key found
    }
    return -(low + 1);  // key not found.
}

Приложения

Практические приложения метода двоичного поиска разнообразны:

  • Широкое распространение в информатике применительно к поиску в структурах данных. Например, поиск в массивах данных осуществляется по ключу, присвоенному каждому из элементов массива (в простейшем случае сам элемент является ключом).
  • Также его применяют в качестве численного метода для нахождения приближённого решения уравнений (см. Метод бисекции).
  • Метод используется для нахождения экстремума целевой функции и в этом случае является методом условной одномерной оптимизации. Когда функция имеет вещественный аргумент, найти решение с точностью до [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] можно за время [math]\displaystyle{ \log_2 1 / \varepsilon }[/math]. Когда аргумент дискретен, и изначально лежит на отрезке длины N, поиск решения займёт [math]\displaystyle{ 1 + \log_2N }[/math] времени. Наконец, для поиска экстремума, скажем, для определённости минимума, на очередном шаге отбрасывается тот из концов рассматриваемого отрезка, значение в котором максимально.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Источник — http://digida.mgpu.ru/index.php?title=Двоичный_поиск&oldid=4665